將⑤式代入④式，得，

于是 …………………………………………4分

由已知得，    ⑥

設(shè)點M的坐標為

將③式和⑥式代入上式，得

所以線段PM的中點在y軸上 ……………………………………………………8分

   （3）因為點P（1，－1）在拋物線

由③式知

將代入⑥式得

因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標為

故當

即………………………………………………………12分

73、(吉林省實驗中學(xué)2008屆高三年級第五次模擬考試)設(shè)分別是橢圓的左，右焦點。

（Ⅰ）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，且，

求點的坐標。

（Ⅱ）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，且為銳角（其中O為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍。

解：（Ⅰ）易知。

，

                                         ………………………………3分

聯(lián)立，解得， ………………5分

（Ⅱ）顯然 …………………………………………6分

可設(shè)

聯(lián)立

  ……………………………………7分

由 

得   1   …………………………………………8分

又，

   ………………………………………………9分

又

 2   ……………………………………11分

綜12可知 …………12分

74、(江蘇省常州市北郊中學(xué)2008屆高三第一次模擬檢測)在中，已知，，、兩邊所在的直線分別與 軸交于原點同側(cè)的點、，且滿足。

(1)求點的軌跡方程；

(2)若是上任一點，動點在線段上，求的最小值。

解：（1）設(shè)點，．

當時，軸，當時， 軸，與題意不符，所以;

由．．三點共線有，解得．同理由．． 三點共線，解得．

，   ，

化簡得點的軌跡方程為

（2）解略。最小值為－2

75、(江蘇省南通市2008屆高三第二次調(diào)研考試)已知橢圓的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B．過F、B、C作⊙P，其中圓心P的坐標為（m，n）．

（Ⅰ）當m＋n>0時，求橢圓離心率的范圍；

（Ⅱ）直線AB與⊙P能否相切？證明你的結(jié)論．

解：（Ⅰ）設(shè)F、B、C的坐標分別為（－c，0），（0，b），（1，0），則FC、BC的中垂線分別為

，．………………………………………………………………2分

聯(lián)立方程組，解出……………………………………………………………4分

，即，即（1＋b）（b－c）>0，

∴ b>c． ……………………………………………………………………………………6分

從而即有，∴．……………………………………………………7分

又，∴． …………………………………………………………………8分

（Ⅱ）直線AB與⊙P不能相切．…………………………………………………………………9分

由，＝． ………………………………………………10分

如果直線AB與⊙P相切，則?＝－1． ………………………………………12分

解出c＝0或2，與0＜c＜1矛盾，………………………………………………………14分

所以直線AB與⊙P不能相切． …………………………………………………………15分

評講建議：

此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢圓的相關(guān)知識，要求學(xué)生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點，從而大膽求出交點坐標，構(gòu)造關(guān)于橢圓中a，b，c的齊次等式得離心率的范圍．第二小題亦可以用平幾的知識：圓的切割線定理，假設(shè)直線AB與⊙P相切，則有AB²＝AF×AC，易由橢圓中a，b，c的關(guān)系推出矛盾．

76、(江蘇省前黃高級中學(xué)2008屆高三調(diào)研)已知直線與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線上.

（Ⅰ）求此橢圓的離心率；

（Ⅱ）若橢圓的右焦點關(guān)于直線的對稱點的在圓上，求此橢圓的方程.

解：（1）設(shè)A、B兩點的坐標分別為 得, 根據(jù)韋達定理，得

 ∴線段AB的中點坐標為（）.

 由已知得

  故橢圓的離心率為

（2）由（1）知從而橢圓的右焦點坐標為 設(shè)關(guān)于直線的對稱點為解得。由已知得 ，故所求的橢圓方程為 .

77、(江蘇省前黃高級中學(xué)2008屆高三調(diào)研)在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于不同的兩點.

 （Ⅰ）如果直線過拋物線的焦點，求的值；

 （Ⅱ）如果證明直線必過一定點，并求出該定點.

解：（Ⅰ）由題意：拋物線焦點為（1，0）

設(shè)消去x得

則，

=

（Ⅱ）設(shè)消去x，得

，則y₁+y₂=4t ，y₁y₂=－4b。

=。

令，∴直線l過定點（2，0）。

78、(江蘇省南通通州市2008屆高三年級第二次統(tǒng)一測試)傾斜角為60°的一束平行光線，將一個半徑為的球投影在水平地面上，形成一個橢圓．若以該橢圓的中心為原點，較長的對稱軸為x軸，建立平面直角坐標系．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若球的某一條直徑的兩個端點在地面上的投影恰好分別落在橢圓邊界的A、B兩點上，且已知C（－4，0），求?的取值范圍．

解：（1）設(shè)橢圓方程是，由題知b=，2a=，a=2

所求橢圓的標準方程是．                              6′

（2）設(shè)A（x₁,y₁），B（x₂,y₂），A、B關(guān)于坐標原點O對稱，

=（x₁＋4,y₁），=（x₂＋4,y₂），

?=（x₁＋4,y₁）?（x₂＋4,y₂）=x₁x₂＋4(x₁＋x₂)＋16＋y₁y₂

= x₁x₂＋16＋y₁y₂                                                    9′

AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程是y=kx，代入橢圓方程得：

?=                                              12′

由于k可以取任意實數(shù)，故?∈[12，13），                       14′

AB與x軸垂直時，||=||=，cos∠ACB==

?=13

∴?∈[12，13]．                                             16′

79、(江蘇省南通通州市2008屆高三年級第二次統(tǒng)一測試)設(shè)A、B是拋物線y=2x²上兩點，求證：AB的垂直平分線經(jīng)過拋物線焦點的充要條件是線段AB的中點落在y 軸上。

證明：設(shè)A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)，AB的中點落在y 軸上即x₁＋x₂=0；

∵拋物線y=2x²的焦點                                         3′

充分性：當AB的中點落在y 軸上即x₁＋x₂=0時，y₁=y₂，A、B關(guān)于y軸對稱，直線即為y軸，經(jīng)過拋物線的焦點。                                              6′

必要性：

（1）直線的斜率不存在且經(jīng)過時，直線即為y軸，A、B關(guān)于y軸對稱，AB的中點落在y 軸上。                                                   

（2）直線經(jīng)過且斜率存在，設(shè)斜率為k（顯然k≠0），截距為，

即直線：y=kx+

由已知得：

≠0

即的斜率存在時，AB的中點不可能落在y 軸上即題設(shè)A、B點不存在。    9′

綜上所述，經(jīng)過拋物線焦點的充要條件是線段AB的中點落在y 軸上。     10′

80、(江西省鷹潭市2008屆高三第一次模擬)橢圓C：的兩個焦點分別為

 ,是橢圓上一點，且滿足。

（1）求離心率e的取值范圍

（2）當離心率e取得最小值時，點N( 0 , 3 )到橢圓上的點的最遠距離為5

(i)求此時橢圓C的方程

(ii)設(shè)斜率為k(k¹0)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B，Q為AB的中點，問A、B兩點能否關(guān)于過點P（0，- ）、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由。

解：(1)、由幾何性質(zhì)知的取值范圍為：≤e＜1………………3分

(2)、(i) 當離心率e取最小值時，橢圓方程可表示為+ = 1 。設(shè)H( x , y )是橢圓上的一點，則| NH |² =x²+(y-3)² = - (y+3)²+2b²+18 ，其中 - b≤y≤b

若0＜b＜3 ，則當y = - b時，| NH |²有最大值b²+6b+9 ，所以由b²+6b+9=50解得b = -3±5(均舍去) …………………5分

若b≥3，則當y = -3時，| NH |²有最大值2b²+18 ，所以由2b²+18=50解得b²=16

∴所求橢圓方程為+ = 1………………7分

(ii) 設(shè) A( x₁ , y₁ ) ，B( x₂ , y₂ )，Q( x₀ , y₀ )，則由兩式相減得x₀+2ky₀=0；………①　　……………………8分

又直線PQ⊥直線l，∴直線PQ的方程為y= - x - ，將點Q( x₀ , y₀ )坐標代入得y₀= - x₀- ………②　　……………………9分

由①②解得Q( - k ,  )，而點Q必在橢圓的內(nèi)部

∴ + < 1，…………… 10分

由此得k² < ，又k≠0

∴ - < k < 0或0 < k <

故當( - , 0 ) ∪( 0 , )時，A、B兩點關(guān)于過點P、Q、的直線對稱。…………12分

81、(寧夏區(qū)銀川一中2008屆第六次月考)如圖，直線y=kx+b與橢圓交于A、B兩點，記△AOB的面積為S．

   （I）求在k=0，0<b<1的條件下，S的最大值；

   （II）當|AB|=2,S=1時，求直線AB的方程．

解：（Ⅰ）解：設(shè)點的坐標為，點的坐標為，

由，解得，

所以

．

當且僅當時，取到最大值．

（Ⅱ）解：由

得，

，

．                ②

設(shè)到的距離為，則

，       又因為，

所以，代入②式并整理，得

，

解得，，代入①式檢驗，，

故直線的方程是

或或，或．

82、(山東省聊城市2008屆第一期末統(tǒng)考)已知定點A（－2，0），動點B是圓F：（F為圓心）上一點，線段AB的垂直平分線交BF于P.

   （1）求動點P的軌跡E的方程；

   （2）直線交于M，N兩點，試問在曲線E位于第二象限部分上是否存在一點C，使共線（O為坐標原點）？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.

解：（1）由題意

∴

因此點P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點的橢圓.……………………4分

設(shè)所求橢圓的方程為

∴

∴

∴點P的軌跡方程為…………………………6分

（2）假設(shè)存在滿足題意的點

由……………………8分

……………………10分

又

又

所以存在滿足題意的點C（）……………………12分

83、(山東省實驗中學(xué)2008屆高三第三次診斷性測試)已知橢圓的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

   （1）求橢圓的方程；

   （2）設(shè)橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；

   （3）設(shè)與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足求的取值范圍.

解：（Ⅰ）∵   ……1分

∵直線相切，

∴   …………2分

∴    …………3分

∵橢圓C₁的方程是     ………………4分

（Ⅱ）∵MP=MF₂，

∴動點M到定直線的距離等于它到定點F₁（1，0）的距離，

∴動點M的軌跡是C為l₁準線，F(xiàn)₂為焦點的拋物線  ………………6分

∴點M的軌跡C₂的方程為    …………7分

（Ⅲ）Q（0，0），設(shè)  …………8分

∴  …………9分

∵

∴

∵，化簡得

∴    ………………11分

∴

當且僅當 時等號成立   …………13分

∵

∴當的取值范圍是……14分

84、(山西大學(xué)附中2008屆二月月考)已知曲線C上任意一點M到點F（0，1）的距離比它到直線 的距離小1.

   （1）求曲線C的方程；

   （2）過點當△AOB的面積為4時（O為坐標原點），求的值.

解：（1）的距離小于1，

∴點M在直線l的上方，點M到F（1，0）的距離與它到直線的距離相等，所以曲線C的方程為

   （2）當直線m的斜率不存在時，它與曲線C只有一個交點，不合題意，

設(shè)直線m的方程為，

代入  （*）與曲線C恒有兩個不同的交點    設(shè)交點A，B的坐標分別為，

則

點O到直線m的距離，

 ，

（舍去）

當方程（*）的解為   若

若  當方程（☆）的解為

若

若  所以，

85、(上海市部分重點中學(xué)2008屆高三第二次聯(lián)考)設(shè)分別是橢圓C：的左右焦點

(1)設(shè)橢圓C上的點到兩點距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標

(2)設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段的中點B的軌跡方程

(3)設(shè)點P是橢圓C 上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，當直線PM ，PN的斜率都存在，并記為  試探究的值是否與點P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論。

[解]：（1）由于點在橢圓上，  ------1分

2=4,         ------2分  

橢圓C的方程為   --------3分

焦點坐標分別為（-1，0）  ，（1，0）-----------4分

（2）設(shè)的中點為B（x, y）則點--------6分

把K的坐標代入橢圓中得-----8分

線段的中點B的軌跡方程為----------10分

（3）過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關(guān)于坐標原點對稱 

設(shè)           ----11分   

，得------12分

-------------------13分

==-----------15分

故：的值與點P的位置無關(guān)，同時與直線L無關(guān)，-----16分

86、