9．已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線y=x－1與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則此雙曲線的方程是

[分析]　 本題主要考查雙曲線的基本知識(shí)，以及推理和計(jì)算技能．

本題要求確定雙曲線的方程，而雙曲線的已知條件比較復(fù)雜，涉及到與已知直線相交的背景．在這種情況下，宜用待定系數(shù)法求解．

因?yàn)殡p曲線的中心在原點(diǎn)，點(diǎn)又是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)．故雙曲線的方程可寫為

a>0為待定系數(shù)，可用不同方法求得．

解法1　 將y=x－1代人方程①，整理得

由直線y=x－1與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，故此二次方程有不等的兩個(gè)實(shí)根分別為點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)．從而MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

解法2　 依題設(shè)，可記

其中t為某個(gè)常數(shù)，且t≠0．

由M、N在雙曲線上，得

將兩式相減，整理得

上述解法計(jì)算量偏大，為了快速解答，可采用定性與定量相結(jié)合的方法求解．

解法3　 由雙曲線與直線y=x－1有兩個(gè)交點(diǎn)M和N，且焦點(diǎn)在x軸上，可知雙曲線漸近線的斜率絕對(duì)值應(yīng)大于1，由此排除B、C；其次，由MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為可估計(jì)雙曲線的張口應(yīng)比較大，D的可能性比較大．為此，作定量檢驗(yàn)，將直線方程代人A所示的雙曲線得

[答案]　 D

8．已知方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則|m－n|=

A．1　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　

[分析]　 本題主要考查二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，等差數(shù)列等基本知識(shí)，以及數(shù)學(xué)思維和分析處理問題的能力．

注意到題設(shè)4次方程的兩個(gè)2次因式中，只有常數(shù)項(xiàng)不同，可知等差數(shù)列的4個(gè)項(xiàng)中首尾兩項(xiàng)應(yīng)為其中一個(gè)因式的兩根，而中間兩項(xiàng)為另一因式的兩根．所以，在此基礎(chǔ)上，可用不同的引入方式，采取適當(dāng)?shù)挠?jì)算程序，求得|m－n|的值．

解法1　 因?yàn)閽佄锞�有公共的對(duì)稱軸x=1，又它們與x軸的4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(即題設(shè)方程的4個(gè)根)成等差數(shù)列，所以可設(shè)為

的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根為

解法3　 依題意可設(shè)原方程的4個(gè)根為

則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有

比較系數(shù)，得

(注：m、n的位置也可對(duì)調(diào)，不影響結(jié)果)．

解法4　 從解原方程入手．由

求得原方程的根為：

由題設(shè)，這4個(gè)根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，必有1－m>0，1－n>0，且

[答案]　 C

7．設(shè)處切線的傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)P到曲線y=f(x)對(duì)稱軸距離的取值范圍為

[分析]　 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法，點(diǎn)到直線的距離，二次函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，以及推理和計(jì)算技能．

解答本題，宜先求出的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)曲線y=f(x)對(duì)稱軸的方程，便可求得點(diǎn)P到對(duì)稱軸距離的取值范圍，如解法1．此外，也可用特殊值排除法求解．

解法1　 依題設(shè)知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)必須且只須滿足

因?yàn)閽佄锞�y=f(x)的對(duì)稱軸為直線：

所以點(diǎn)P到直線的距離為

解法2　 取特殊值a=1，b=－2，c=0．可知曲線y=f(x)的對(duì)稱軸為直線l：x=1．曲線在點(diǎn)P處切線的斜率為

由及tanx的單調(diào)性，依題設(shè)知k的取值范圍為[0，1]，所以

得點(diǎn)P到對(duì)稱軸距離的取值范圍為據(jù)此，可排除選項(xiàng)A，C，D，得答案B．

[答案]　 B

6．棱長為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為

[分析]　 本題主要考查棱柱、棱錐等多面體的基本知識(shí)和體積計(jì)算，以及基本的空間想象能力．

題設(shè)的八面體(記為ABCDEF)如圖所示．圖中將原正方體略去，以使圖線清晰．該八面體的三條軸線AC、BD、EF兩兩互相垂直，且AC=BD=EF=a，

把這個(gè)八面體看作共底(BFDE)的兩個(gè)四棱錐的組合體，應(yīng)用棱錐體積計(jì)算公式，得所求的八面體的體積為

對(duì)于空間想像力比較好的考生，不作圖便可由心算得出答案．心算的方法比較多，例如，與上法共通地把八面體看作共底的兩個(gè)四棱錐，底面積是正方體的一個(gè)面的面積之半，錐高是正方體棱長之半，即可得體積為又如，由對(duì)稱性，將正方體切成相等的八個(gè)小正方體，這時(shí)題沒的八面體也被切成八個(gè)相等的三棱錐，每個(gè)三棱錐的體積等于小正方體的體積的所以八面體的體積是正方體體積的即

[答案]　 C

[分析]　 本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及簡單的數(shù)值計(jì)算技能．

解答本題必須正確用好復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，既可用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式進(jìn)行演算，也可用三角形式進(jìn)行演算．

[答案]B

[分析]　 本題主要考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本三角函數(shù)公式的簡單應(yīng)用，以及基本的計(jì)算技能．

作為常規(guī)解法，可先由已知條件求sin x，推得tan x的值，再應(yīng)用倍角正切公式求得答案，如解法1；作為靈活解法，可用估值快速求解，如解法2．

(注：也可用下式得解：

而不需求tanx．)

[答案]　 D

A．(－1，1)　　　　　　　　　　　　　 B．(－1，+∞)

C．(－∞，－2)∪(0，+∞)　　　　 D．(－∞，－1)∪(1，+∞)

[分析]　 本題主要考查分段函數(shù)的概念、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)、不等式組的求解等基礎(chǔ)知識(shí)，以及簡單的推理計(jì)算能力．

根據(jù)函數(shù)f(x)的分段表達(dá)式，畫個(gè)草圖可快速判斷，如解法4；也可將不等式化為等價(jià)的不等式組求解，如解法1；也可用特殊值排除法求解，如解法2；還可以利用單調(diào)性，結(jié)合解方程求解，如解法3．

解不等式組①得解不等式組②得綜合得的取值范圍為(－∞,－1)∪(1，+∞)．

解法2　 由排除A和B；由f(0.04)=0.2<1，排除C，得答案D．

解得x=－1；由

解得x=1．

因?yàn)閒(x)在(－∞，0]上是減函數(shù)，在(0，+∞)上是增函數(shù)，所以得的取值范圍為(－∞，1)∪(1，+∞)．

[答案]　 D

4．O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

則P的軌跡一定通過△ABC的

A．外心　　　　　 B．內(nèi)心　　　　　　　　 C．重心　　　　　　　　 D．垂心

[分析] 　本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算等基本知識(shí)和計(jì)算技能．

解法1　 為書寫方便與直觀起見，宜作圖表示(如下圖)．圖中，有

則動(dòng)點(diǎn)P滿足

因此，點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心．得答案為B．

解法2　 當(dāng)λ>0時(shí)，

因?yàn)锳，B，C不共線，

所以AP平分∠BAC，

得點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心．

解法3　 考慮特殊情形，取△ABC為等腰直角三角形，即：如圖．

這時(shí)，△ABC的外心為AC的中點(diǎn)D，垂心為點(diǎn)B．而由題設(shè)知點(diǎn)P的軌跡是由點(diǎn)A出發(fā)，方向?yàn)?sub>的射線，不經(jīng)過點(diǎn)D，也不經(jīng)過點(diǎn)B，故排除A、D兩個(gè)選項(xiàng)．其次，由于所以射線不平分BC，即不通過△ABC的重心，排除選項(xiàng)C．從而得選項(xiàng)B為答案．

[答案]　 B

[分析]　 本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和求反函數(shù)的方法，以及基本的計(jì)算技能．

根據(jù)反函數(shù)的概念，求給定函數(shù)的反函數(shù)，可用解方程的方法，如解法1；作為選擇題，還可用特殊值排除法求解，如解法2．

解法1　 解方程不等式組

得y>O，因此，所求的反函數(shù)為

解法2　 因?yàn)辄c(diǎn)(2，ln3)在原函數(shù)的圖像上，所以點(diǎn)(1n3，2)應(yīng)在反函數(shù)的圖像上．因此，由In3>0，可排除選項(xiàng)C、D；由

可排除A，應(yīng)取B作答．

[答案]　 B

22．(本小題滿分14分)

　　　　 數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，滿足：，

　 (1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

　 (2)設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列滿足的

通項(xiàng)公式；

　 (3)記

21．(本小題滿分12分)

已知△OPQ的面積為S，且；

　 (1)若，求向量的夾角的取值范圍；

　 (2)設(shè)以O(shè)為中心，P為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)Q，當(dāng)上變

動(dòng)時(shí)，求的最小值，并求出此時(shí)的橢圓方程.

20．(本小題滿分12分)

(理)設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，

為實(shí)數(shù))

①求：當(dāng)的解析式；

②若在區(qū)間上為增函數(shù)，求a取值范圍；

③求在區(qū)間上的最大值.

　 (文)已知，函數(shù)，

①當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)上單調(diào)性，并加以證明；

②求的取值范圍，使上為增函數(shù).

19．(本小題滿分12分)

　　　　 某工廠去年的某產(chǎn)品的年產(chǎn)量為100萬只，每只產(chǎn)品的銷售價(jià)為10元，固定成本

為8元. 今年，工廠第一次投入100萬元(科技成本)，并計(jì)劃以后每年比上一年多投入

100萬元(科技成本)，預(yù)計(jì)產(chǎn)量年遞增10萬元，第n次投入后，每只產(chǎn)品的固定成本

為為常數(shù)，)，若產(chǎn)品銷售價(jià)保持不變，第n次

投入后的年利潤為萬元.

　 (1)求k的值，并求出的表達(dá)式；

　 (2)問從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？

18．(本小題滿分12分)

　　　　 如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，，E、F、G

　 分別是AC、AA₁、AB的中點(diǎn).

①求異面直線AC₁與GF所成的角.

②求二面角B₁-EG-B的大小.