2008年杭州市第二次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測
數(shù)學(xué)試題卷(理科)
考生須知:
1.本卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘。
2.答題前,在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫學(xué)校、班級(jí)和姓名。
3.所有答案必須寫在答題卷上,寫在試題卷上無效。
4.考試結(jié)束,只需上交答題卷。
參考公式
如果事件互斥,那么
;
如果事件相互獨(dú)立,那么
;
如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是
,那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生
次的概率
。
一.選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.函數(shù)和
在同一直角坐標(biāo)系下的圖像大致是( )
2.已知直線和平面m,直線
直線b的一個(gè)必要不充分的條件是( )
(A)且
(B)
且
(C)且
(D)
與m所成角相等
3.若弧度是2的圓心角所對(duì)的弦長為2,則這個(gè)圓心角所夾扇形的面積是( )
(A) (B)
(C)
(D)
4.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在曲線
上移動(dòng),則點(diǎn)
與點(diǎn)
連線中點(diǎn)的軌跡方程是( )
(A) (B)
(C)
(D)
5.用6種不同的顏色把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域區(qū)分開,若相鄰的
區(qū)域不能涂同一種顏色,則不同的涂法共有( )
(A)400種 (B)460種
(C)480種 (D)496種
6.設(shè)是
和
的等比中項(xiàng),則
的最大值為
(A)10 (B)7 (C)5 (D)
7.在正方體上任意選擇兩條棱,則這兩條棱所在的直線成異面直線的概率為
(A) (B)
(C)
(D)
8.若,且
,
,則
等于( )
(A) (B)
(C)
(D)
9.已知點(diǎn)A,B,C不共線,且有,則有( )
(A) (B)
(C) (D)
10.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)
時(shí),
,若對(duì)任意的
,不等式
恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( )
(A) (B)
(C) (D)
二.填空題:本大題有7小題,每小題4分,共28分。把答案填在答題卷的相應(yīng)位置。
11.已知集合,
,則
=
。
12.在的二項(xiàng)展開式中,若只有
系數(shù)最大,則n=
。
13.已知向量,
,且
,
,則向量
= 。
14.某運(yùn)動(dòng)員投籃投中的概率,那么該運(yùn)動(dòng)員重復(fù)5次投籃,投中次數(shù)
的期望是 ;方差是 。
15.已知函數(shù)滿足條件
,則正數(shù)
= 。
16.如果點(diǎn)p在平面區(qū)域上,點(diǎn)Q在曲線
上,那么
的最大值為
。
17.如圖,邊長為
的正
中線
與中位線
相交于
,已知
是
繞
旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形,現(xiàn)給出下列命題,其中正確的命題有
(只需填上正確命題的序號(hào))。
(1)動(dòng)點(diǎn)在平面
上的射影是線段
(2)三棱錐的體積有最大值;
(3)恒有平面平面
;
(4)異面直線與
不可能互相垂直;
(5)異面直線與
所成角的取值范圍是
。
三.解答題:本大題有5小題,18至21每小題14分,22題16分,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
18.(本小題滿分14分)
設(shè)函數(shù)。
(1)試判定函數(shù)的單調(diào)性,并說明理由;
(2)已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)
處的切線斜率為
,求
的值.
19.(本小題滿分14分)如圖,矩形與矩形
全等,
且所在平面所成的二面角為,記兩個(gè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)分別
為,
,
,
。
(1)求證:平面
;
(2)當(dāng),且
時(shí),求異面直線
與
所成
的角;
(3)當(dāng),且
時(shí),求二面角
的余弦值(用
,
表示)。
20.(本小題滿分14分)如圖,在橢圓
中,點(diǎn)
是左焦點(diǎn),
,
分別為右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),點(diǎn)
為橢圓的中心。又點(diǎn)
在橢圓上,且滿足條件:
,點(diǎn)
是點(diǎn)
在x軸上的射影。
(1)求證:當(dāng)取定值時(shí),點(diǎn)
必為定點(diǎn);
(2)如果點(diǎn)落在左頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)之間,試求橢圓離心
率的取值范圍;
(3)如果以為直徑的圓與直線
相切,且凸四邊形
的面積等于
,求橢圓的方程。
21.(本小題滿分14分)某遠(yuǎn)洋捕漁船到遠(yuǎn)海捕魚,由于遠(yuǎn)海漁業(yè)資源豐富,每撒一次網(wǎng)都有w萬元的收益;同時(shí),又由于遠(yuǎn)海風(fēng)云未測,每撒一次網(wǎng)存在遭遇沉船事故的可能,其概率為(常數(shù)k為大于l的正整數(shù))。假定,捕魚船噸位很大,可以裝下幾次撒網(wǎng)所捕的魚,而在每次撒網(wǎng)時(shí),發(fā)生不發(fā)生沉船事故與前一次撒網(wǎng)無關(guān),若發(fā)生沉船事故,則原來所獲的收益將隨船的沉沒而不存在,又已知船長計(jì)劃在此處撒網(wǎng)n次。
(1)當(dāng)n=3時(shí),求捕魚收益的期望值
(2)試求n的值,使這次遠(yuǎn)洋捕魚收益的期望值達(dá)到最大。
22.(本小題滿分16分)設(shè)數(shù)列的所有項(xiàng)都是不等于1的正數(shù),前n項(xiàng)和為
,已知點(diǎn)
在直線
上,(其中,常數(shù)k≠0,且k≠1),又
。
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)如果,求實(shí)數(shù)k,b的值;
(3)如果存在,使得點(diǎn)
和
都在直線
上,試判斷,是否存在自然數(shù)
,當(dāng)
時(shí),
恒成立?若存在,求出
的最小值,若不存在,請說明理由.
數(shù)學(xué)試題卷(理科)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
D
C
C
C
A
C
A
A
二.填空題:本大題有7小題,每小題4分,共28分。把答案填在答題卷的相應(yīng)位置。
11. 12.10 13.
14.3 ;1.2 15. 16.
17.(1)(2)(3)(5)
三.解答題:本大題有5小題,18至21每小題14分,22題16分,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
18.(本小題滿分14分)
解:,
定義域內(nèi)單調(diào)遞增。 4分
(2)由,得:
。
,得
, 4分
6分
19.(本小題滿分14分)
(1)連接,
分別是
,
的中點(diǎn),
,而
平面
,
; 4分
(2)以為原點(diǎn),
分別為
軸,
軸建立空間
直角坐標(biāo)系,如圖:
由條件可設(shè),
,
,
,又
,
,
,
,
,
,設(shè)異面直線AC與
所成角為
, 4分
則
,∴
異面直線與
所成角為
(3)設(shè),
,
,
,
,又有
,
,
,得
,
設(shè)平面的法向量為
,
,
,而
,
,
,設(shè)平面
的法向量為m,則
,
。 6分
20.(本小題滿分14分)
(1)由,
,得
,代入橢圓方程
,得
,
或
,
軸,
或
,
為定值,
為定點(diǎn); 4分
(2)點(diǎn)
落在左頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)之間,
只有
,且
,可解得
; 4分
(3)以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切等價(jià)于點(diǎn)O到直線AB的距離等于
。由條件設(shè)直線
,則點(diǎn)O到直線
的距離
,又
,
得
①
又由,
得。② 由①②解得
,
,
所以所求橢圓方程為:。 6分
21(本小題滿分14分)
解:(1)列表:
收益
0
3W
P
3分
所以收益的期望值=
3分
(2)列表:
收益
0
nW
P
因此,撒了n次網(wǎng)收益的期望值等于
4分
,
等價(jià)于
,得
。
當(dāng)
時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
;
因此,當(dāng)時(shí),
達(dá)到最大。 4分
22.(本小題滿分16分)
解:(1)點(diǎn)
,
都以直線
上,
,得
。
常數(shù)
,且
,
(非零常數(shù))
數(shù)列
是等比數(shù)列。 4分
(2)由,得
,
,得
。
由在直線上,得
,
令得
。 4分
(3)恒成立等價(jià)于
,
存在
,使得
和
都在
上,
,(1)
,(2)
得:
,
易證是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,則有
,
,
,
得:
,
又
由, 得
,
即:數(shù)列是首項(xiàng)為正,公差為負(fù)的等差數(shù)列, 4分
一定存在一個(gè)最小自然數(shù)M,使
, 即
解得。
,
。
即存在自然數(shù),其最小值為
,使得當(dāng)
時(shí),
恒成立。4分
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