1．已知，為虛數(shù)單位，若，則的值等于

      A．-6        B．-2       C．2         D．6

2．設(shè)向量且，則銳角為

      A．          B．         C．        D．

3．是相交”的

      A．充分而不必要條件          B．必要而不充分條件

      C．充分必要條件              D．既不充分也不必要條件

4．函數(shù)的圖象大致為

5．設(shè)為不重合的平面為不重合的直線，則下列命題正確的是

      A．若

      B．若

      C．若

      D．若

6．關(guān)于函數(shù)圖象的對(duì)稱性，下列說(shuō)法正確的是

      A．關(guān)于直線對(duì)稱

      B．關(guān)于直線對(duì)稱

      C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

      D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

7．右圖是計(jì)算函數(shù)的值的程度框圖，

   在①、②、③處應(yīng)分別填入的是

      A．

      B．

      C．

      D．

8．已知直線與直線互相垂直，則的最小值為

      A．5         B．4        C．2         D．1

9．已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，則的大小關(guān)系是

      A．           B．

      C．           D．

10．的展開(kāi)式中，的系數(shù)可以表示從個(gè)不同物體中選出個(gè)方法總數(shù)，下列各式的展開(kāi)式中的系數(shù)恰能表示從重量分別為1，2，3，…，10克的砝碼（每種砝碼各一個(gè)）中選出若干個(gè)，使其總重量恰為8克的方法總數(shù)的選項(xiàng)是

      A．

      B．

      C．

      D．

第Ⅱ卷（非選擇題  共100分）

11．為了測(cè)算如圖陰影部分的面積，作一個(gè)邊為6的正方形將

    其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨即投擲800個(gè)點(diǎn)，已知恰有

    200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)，據(jù)此，可估計(jì)陰影部分的面積

    是____________。

12．已知滿足約束條件則的最大值是__________。

13．如圖，直線與曲線所圍圖形的面積是____________。

14．在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且則

    ____________。

15．已知橢圓的中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸上，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸上。小明從曲線上各取若干個(gè)點(diǎn)（每條曲線上至少取兩個(gè)點(diǎn)），并記錄其坐標(biāo)（由于記錄失誤，使得其中恰有一個(gè)點(diǎn)既不在橢圓上，也不在拋物線上，小明的記錄如下：

-2

0

2

3

2

0

   據(jù)此，可推斷橢圓的方程為_(kāi)________。

16．（本小題滿分13分）

在等比數(shù)列中，

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

17．（本小題滿分13分）

    甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨即抽取8次，記錄如下：

                甲 82   81  79  78  95  88  93  84

                乙 92   95  80  75  83  80  90  85

（I）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；

（Ⅱ）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（Ⅲ）若將頻率視為概率，對(duì)甲同學(xué)在今后的3次數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)，記這3次成績(jī)中高于80分的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。

18．（本小題滿分13分）

     四棱錐的底面與四個(gè)側(cè)面的形狀和大小如圖所示。

（I）寫出四棱錐中四對(duì)線面垂直關(guān)系（不要求證明）；

（Ⅱ）在四棱錐中，若E為的中點(diǎn)，求證：平面；

（Ⅲ）在四棱錐中，設(shè)面與面所成的角為，求的值

19．（本小題滿分13分）

    已知橢圓的離心率，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為。

（I）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于，兩

     點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問(wèn)：當(dāng)

     變化時(shí)，點(diǎn)是否恒在一條定直線上？

     若是，請(qǐng)寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)

論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

20．（本小題滿分14分）

已知函數(shù)

（I）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn)，如果存在曲線上的點(diǎn)，且，使得曲線在點(diǎn)處的切線，則稱為弦的伴隨切線，特別地，當(dāng)時(shí)，又稱為的伴隨切線。

（i）求證：曲線的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；

（ii）是否存在曲線，使得曲線的任意一條弦均有伴隨切線？若存在，給出一條這樣的曲線，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由。

21．本題（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分如果多

做，則按所做的前兩題計(jì)分，作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)

涂黑。并將所選題號(hào)填入括號(hào)中。

（1）（本小題滿分7分）選修4-2；矩陣與變換

     已知矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換把點(diǎn)變成點(diǎn)，求矩陣的特征值以及屬于沒(méi)個(gè)特征值的一個(gè)特征向量。

（2）（本小題滿分7分）選修4-4，坐標(biāo)系與參數(shù)方程

     已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為，圓的參數(shù)方程為（是參數(shù)），直線與圓交于兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的距離。

（3）（本小題滿分7分）選修4-5；不等式選將

     解不等式

2009年福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查

理科數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

說(shuō)明：

1．C    2．B   3．A    4．C   5．D   6．D   7．B   8．C   9．B   10．A

11．9      12．5    13．       14．       15．

16．本小題主要考查等比數(shù)列、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，滿分13分。

解：（I）設(shè)等比數(shù)列的公比為

        依題意，得

        解得

        數(shù)列的通項(xiàng)公式   

  （Ⅱ）由（I）得

17．本小題主要考查概率、統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力，滿分13分

解：（I）作出莖葉圖如下：

  （Ⅱ）派甲參賽比較合適，理由如下：

         ，

              ，

         ，

         甲的成績(jī)較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適。

注：本小題的結(jié)論及理由均不唯一，如果考生能從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度分析，給出其他合理回答，同樣給分，如

派乙參賽比較合適，理由如下：

從統(tǒng)計(jì)的角度看，甲獲得85以上（含85分）的概率，

乙獲得85分以上（含85分）的概率

，派乙參賽比較合適。

     （Ⅲ）記“甲同學(xué)在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中成績(jī)高于80分”為事件A，

           則

           隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，且服從，

            所以變量的分布列為

0

1

2

3

         （或）

18．本小題主要考查直線與直線，直線與平面，平面與平面位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力，滿分13分。

解法一：

    （I）如圖，在四棱錐中，平面，

        平面，平面，平面

        注：多寫的按前四對(duì)給分，每正確一對(duì)，給一分

        平面也符合要求

   （Ⅱ）依題意兩兩垂直，分別以直線，

         ，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

          則，

          的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0，1），

          。

          設(shè)是平面的法向量

         由，即

         取，得為平面的一個(gè)法向量

         ，，

         平面，又平面，平面

    （Ⅲ）由（Ⅱ），平面的一個(gè)法向量為=（1，1，2）

          又平面，平面的一個(gè)法向量為

解法二：

     （I）同解法一。

    （Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接，

          分別是的中點(diǎn)，

          ，

           在直角梯形中，

           且且

            四邊形是平行四邊形，

           又平面，平面，

           平面

     （Ⅲ）依題意兩兩垂直，分別以直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

           則

           設(shè)是平面的法向量。

           由 即

           取，得=（1，1，2）為平面的一個(gè)法向量

           又平面，平面的一個(gè)法向量為

解法三：

       （I）同解法一

      （Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接，

            分別是的中點(diǎn)，

            又平面，

            平面

            在直角梯形中，且，

           四邊形是平行四邊形，

           又平面，平面

           平面平面

            又平面平面

      （Ⅲ）同解法二

19．本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形

結(jié)合思想和化歸思想等，滿分13分。

解法一：

       （I）設(shè)橢圓的方程為

             橢圓的方程是

      （Ⅱ）取，得

            直線的方程是，直線的方程是

            交點(diǎn)為

            若，由對(duì)稱性可知交點(diǎn)為

            若點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為

            以下證明對(duì)于任意的，直線與的交點(diǎn)均在直線上

            事實(shí)上，由

            得即

            記則

            設(shè)與交于點(diǎn)由，得

            設(shè)與交于點(diǎn)由，得

            即與重合

            這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上

解法二：

       （I）同解法一

      （Ⅱ）取，得

            直線的方程是，直線的方程是，

            交點(diǎn)為

            取，得

            直線的方程是，直線的方程是，交點(diǎn)為

            若交點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為

            以下證明對(duì)于任意的，直線與的交點(diǎn)均在直線上，

            事實(shí)上，有

            得，即

            記則

            的方程是，的方程是

             消去，得

             以下用分析法證明時(shí)，①式恒成立。

             要證明①式恒成立，只需證明，

             即證，即證

             ，②式成立。

             這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。

解法三：

        （I）同解法一。

       （Ⅱ）由

             得，即

             記則

             的方程是的方程是

             由得

             即

             這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上

20．本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形

結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。滿分14分

解法一：

       （I）
            當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，

            函數(shù)沒(méi)有極值

            當(dāng)時(shí)，令得

            當(dāng)變化時(shí)，與變化情況如下表：

+

0

-

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

            當(dāng)時(shí)，取得極大值

             綜上，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值；

             當(dāng)時(shí)，的極大值為，沒(méi)有極小值

       （Ⅱ）（i）設(shè)是曲線上的任意兩點(diǎn)，要證明有伴隨切線，只需證明存在點(diǎn)使得

             ，且點(diǎn)不在上。

          即證存在，使得

           即成立，且點(diǎn)不在上

           以下證明方程在內(nèi)有解。

           記則

           令

           在內(nèi)是減函數(shù)，

           取則，即

           同理可證

           函數(shù)在（）內(nèi)有零點(diǎn)

           即方程在內(nèi)有解

        又對(duì)于函數(shù)取，則，

           可知即點(diǎn)不在上。

           又是增函數(shù)，的零點(diǎn)是唯一的，

           即方程在內(nèi)有唯一解

           綜上，曲線上的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的

      （ii）取曲線，則曲線的任意一條弦均有伴隨切線。

           證明如下：

           設(shè)是曲線上任意兩點(diǎn)，

           則

           即曲線的任意一條弦均有伴隨切線

           注：只要考生給出一條滿足條件的曲線，并給出正確證明，均給滿分，若只給

曲線，沒(méi)有給出正確的證明，不給分。

解法二：

       （I）同解法一。

      （Ⅱ）（i）設(shè)是曲線上的任意兩點(diǎn)，要證明 有伴隨切線，只需證明存在點(diǎn)，，使得

           且點(diǎn)不在上

          即證存在，使得

           即成立，且點(diǎn)不在上

           以下證明方程在內(nèi)有解

           設(shè)

           則

           記

           在內(nèi)是增函數(shù)，

           同理

           方程在內(nèi)有解

           又對(duì)于函數(shù)

           可知即點(diǎn)不在上。

           又在內(nèi)是增函數(shù)。

           方程在內(nèi)有唯一解

           綜上，曲線上的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的

          （ii）同解法一。

21．（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換

           本小題主要考查矩陣與變換、矩陣的特征值與特征向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，滿分7分

    解：由，得

           矩陣的特征多項(xiàng)式為

           令，得矩陣的特征值

        對(duì)于特征值，解相應(yīng)的線性方程組 得一個(gè)非零解

           因此，=是矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量

           注：寫出的特征向量只要滿足，即可

      （2）（本小題滿分7分）選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程

           本小題主要考查圓的參數(shù)方程、直線于圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力滿分7分

解法一：

          將圓的參數(shù)方程化為普通方程，得

          直線的方程為即

          圓心到直線的距離

          所以

解法二：

          直線的參數(shù)方程為即（為參數(shù)）

          將圓的參數(shù)方程化為普通方程，得

          將直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程得

          ，即

           兩點(diǎn)間的距離為

       （3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講

           本小題主要考查絕對(duì)值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，滿分7分

        解：當(dāng)時(shí)，原不等式可化為

           ，解得或

            當(dāng)時(shí)，原不等式可化為

            ，解得或

            當(dāng)時(shí)，原不等式可化為

            ，解得

            綜上所述，原不等式的解集為