0  446254  446262  446268  446272  446278  446280  446284  446290  446292  446298  446304  446308  446310  446314  446320  446322  446328  446332  446334  446338  446340  446344  446346  446348  446349  446350  446352  446353  446354  446356  446358  446362  446364  446368  446370  446374  446380  446382  446388  446392  446394  446398  446404  446410  446412  446418  446422  446424  446430  446434  446440  446448  447090 

5.若函數(shù)f(x)=2x2-ax+3有一個(gè)零點(diǎn)為,則f(1)=     . 

答案  0  

 

例1  判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn). 

(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; 

(2)f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2]; 

(3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]. 

解(1)方法一  因?yàn)閒(1)=-20<0,f(8)=22>0, 

所以f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零點(diǎn). 

方法二  令x2-3x-18=0,解得x=-3或6, 

所以函數(shù)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零點(diǎn). 

(2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0, 

∴f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2]存在零點(diǎn). 

(3)∵f(1)=log2(1+2)-1>log22-1=0. 

f(3)=log2(3+2)-3<log28-3=0.∴f(1)·f(3)<0 

故f(x)=log2(x+2)-x在x∈[1,3]上存在零點(diǎn). 

例2  求函數(shù)y=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 

解  在同一坐標(biāo)系畫(huà)出y=lnx與y=6-2x的圖象,

由圖可知兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn),

故函數(shù)y=lnx+2x-6只有一個(gè)零點(diǎn). 

例3 (12分)(1)若函數(shù)f(x)=ax2-x-1有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值; 

(2)若函數(shù)f(x)=|4x-x2|+a有4個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 

解(1)若a=0,則f(x)=-x-1, 

令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合題意;                         2分 

若a≠0,則f(x)=ax2-x-1是二次函數(shù), 

故有且僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于Δ=1+4a=0, 

解得a=-,                                     4分 

綜上所述a=0或a=-.                                 6分 

(2)若f(x)=|4x-x2|+a有4個(gè)零點(diǎn), 

即|4x-x2|+a=0有四個(gè)根,即|4x-x2|=-a有四個(gè)根.      8分                    

令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a. 

作出g(x)的圖象,由圖象可知如果要使|4x-x2|=-a有四個(gè)根,            

那么g(x)與h(x)的圖象應(yīng)有4個(gè)交點(diǎn).                         10分

故需滿足0<-a<4,即-4<a<0. 

∴a的取值范圍是(-4,0).                               12分 

例4 用二分法求函數(shù)f(x)=x3-x-1在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)(精確度0.1).

解  由于f(1)=1-1-1=-1<0,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0, 

∴f(x)在區(qū)間[1,1.5]上存在零點(diǎn),

取區(qū)間[1,1.5]作為計(jì)算的初始區(qū)間, 

用二分法逐次計(jì)算列表如下: 

l     端(中)點(diǎn)
l     坐標(biāo)
l     中點(diǎn)函數(shù)值
l     符號(hào)
l     零點(diǎn)所在區(qū)間
l     |an-bn|
l      
l      
l    
l     0.5
l     1.25
l     f(1.25)<0
l    
l     0.25
l     1.375
l     f(1.375)>0
l    
l     0.125
l     1.312 5
l     f(1.312 5)<0
l    
l     0.062 5

∵|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1, 

∴函數(shù)的零點(diǎn)落在區(qū)間長(zhǎng)度小于0.1的區(qū)間[1.312 5,1.375]內(nèi),故函數(shù)零點(diǎn)的近似值為1.312 5.

試題詳情

4.如果二次函數(shù)y=x2+mx+(m+3)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則m的取值范圍是               (    )               

A.(-∞,-2)∪(6,+∞)              B.(-2,6)

C.                                           D.

答案?A? 

試題詳情

3.函數(shù)f(x)=ex-的零點(diǎn)所在的區(qū)間是                              (   )

A.(0,)       B. (,1)       C. (1,)           D. (,2)

答案  B

試題詳情

2.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù),其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn),則該函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為            (   )           

A.0                    B.2                      C.1                             D.4

答案?A

試題詳情

1.函數(shù)f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是                (   )                                 

A.a≥        B.a≤1                  C.-1≤a≤          D. a≥或a≤-1

答案?D

試題詳情

12.已知函數(shù)f(x)=,g(x)=. 

(1)證明f(x)滿足f(-x)=-f(x),并求f(x)的單調(diào)區(qū)間; 

(2)分別計(jì)算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函數(shù)f(x)和g(x)的對(duì)所有

不等于零的實(shí)數(shù)x都成立的一個(gè)等式,并加以證明. 

(1)證明

f(-x)==-f(x),

設(shè)x1>x2>0,由于y=x在R上遞增,∴.又(x1x2)>0, 

∴f(x1)-f(x2)=(x1-x1-+)=>0. 

即f(x)在(0,+∞)上遞增. 

同理f(x)在(-∞,0)上也遞增. 

故f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞增. 

(2)解  f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0, 

且f(x2)-5f(x)g(x)=0. 

證明如下:

f(x2)-5f(x)g(x)=.

§2.7 函數(shù)與方程

基礎(chǔ)自測(cè)

試題詳情

11.指出函數(shù)f(x)=的單調(diào)區(qū)間,并比較f(-)與f(-的大小. 

解 f(x)==1+=1+(x+2)-2,其圖象可由冪函數(shù)y=x-2向左平移2個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,該函數(shù)在(-2,+∞)上是減函數(shù),在(-∞,-2)上是增函數(shù),且其圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱(如圖).

又∵-2-(-)=-2<--(-2)=2-, 

∴f(-)>f(-).

試題詳情

10.已知f(x)=(n=2k,k∈Z)的圖象在[0,+∞)上單調(diào)遞增,解不等式f(x2-x)>f(x+3). 

解  由條件知>0, 

-n2+2n+3>0,解得-1<n<3. 

又n=2k,k∈Z,∴n=0,2. 

當(dāng)n=0,2時(shí),f(x)=x.∴f(x)在R上單調(diào)遞增. 

∴f(x2-x)>f(x+3)轉(zhuǎn)化為x2-x>x+3. 

解得x<-1或x>3. 

∴原不等式的解集為(-∞,-1)∪(3,+∞).

試題詳情

9.求函數(shù)y= (m∈N)的定義域、值域,并判斷其單調(diào)性. 

解 ∵m2+m+1=m(m+1)+1必為奇數(shù), 

且m2+m+1=(m+)2+>0,

∴函數(shù)的定義域?yàn)镽, 

類比y=x3的圖象可知,所求函數(shù)的值域?yàn)镽, 

在(-∞,+∞)上所求函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù).

試題詳情

8.給出封閉函數(shù)的定義:若對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x0,都有函數(shù)值f(x0)∈D,則稱函數(shù)y=f(x)在D上封閉.若定義域D=(0,1),則函數(shù)①f1(x)=3x-1;?②f2(x)=- -x+1;③f3(x)=1-x;④ f4(x)=x,其中在D上封閉的是       .(填序號(hào)即可) 

答案  ②③④ 

試題詳情


同步練習(xí)冊(cè)答案