例5一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一直角坐標系內(nèi)的大致圖象是

         A                   B                  C                    D

【考點要求】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)圖象的判定．

【思路點撥】可假定一次函數(shù)圖象正確，逐一判斷出k的取值范圍，再結合反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖象看是否會出現(xiàn)矛盾，若出現(xiàn)矛盾則該選項錯誤，

【答案】選A．

【方法點撥】少數(shù)學生因未能掌握這類問題的解法以致舉棋不定，無從下手。突破方法：所有這類判斷圖象可能性的問題的解法相近，關鍵就是以每一個選項中的某個圖象所反映的字母系數(shù)符號判斷出來，然后再看與另一個圖象是否相符。

例6已知拋物線的部分圖象如圖3-2所示，若y＜0，則x的取值范圍是

A．－1＜x＜4              B．－1＜x＜3 

C．x＜－1或 x＞4         D．x＜－1或 x＞3

【考點要求】本題考查利用二次函數(shù)圖象解不等式．

【思路點撥】拋物線的圖象上，當y=0時，對應的是拋物線與x軸的交點，坐標分別為（－1，0）、（3，0）．當y＜0時所對應的是x軸下方的部分，對應的x在－1與3之間，所以x的取值范圍是－1＜x＜3  ，

【答案】選B．

【方法點撥】本題解題關鍵在于正確理解y＜0在圖象上反映出來的是對應x軸下面的部分，而這一段圖象對所應的自變量的取值范圍是－1至3，其中3根據(jù)拋物線的對稱軸以及拋物線與x軸左邊的交點坐標來確定的。

例7在直角坐標平面中，O為坐標原點，二次函數(shù)的圖象與x軸的負半軸相交于點C，如圖3-3，點C的坐標為（0，－3），且BO＝CO

（1）       求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）       設這個二次函數(shù)的圖象的頂點為M，求AM的長.

【考點要求】本題考查二次函數(shù)解析式的確定。

【思路點撥】由題目條件，可用待定系數(shù)法求解析式

（1），

，，

。

。

（2），

.

【答案】（1）；（2）。

【方法點撥】部分學生因為題目中沒有直接給出兩個點的坐標，因此在求待定系數(shù)時遇到困難。突破方法：由BO＝CO且點C的坐標為（0，－3）可推知點B的坐標為（3，0），然后代入求解。

例8小明在銀行存入一筆零花錢，已知這種儲蓄的年利率為n%．若設到期后的本息和（本金+利息）為y(元)，存入的時間為x（年），那么（1）下列那個圖像更能反映y與x之間的函數(shù)關系？從圖中你能看出存入的本金是多少元？一年后的本息和是多少元？

（2）根據(jù)（1）的圖象，求出y于x的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍），并求出兩年后的本息和．

【考點要求】本題考查用函數(shù)圖象表示實際生活問題及根據(jù)圖象求解析式．

【思路點撥】（1）圖乙反映y與x之間的函數(shù)關系從圖中可以看出存入的本金是100元一年后的本息和是102.25元

（2）設y與x的關系式為：y=100 n%x+100

把（1，102.25）代入上式，得n=2.25

∴y=2.25x+100

當x=2時，y=2.25×2+100=104.5(元)

【答案】（1）圖乙，存入的本金是100元，一年后的本息和是102.25元。（2）兩年后的和是104.5元。

【方法點撥】在選擇圖象時，應抓住起始錢數(shù)為100元，然后隨著時間推移逐步增加，到1年時總錢數(shù)變?yōu)?02.25元。確定好圖象后，根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法，容易求一次函數(shù)解析式。

例9一次函數(shù)y=x+b與反比例函數(shù) 圖像的交點為A(m，n)，且m，n(m<n)

是關于x的一元二次方程kx²+(2k-7)x+k+3的兩個不相等的實數(shù)根，其中k為非負整數(shù)，m，n為常數(shù)．

（1）求k的值；

（2）求A的坐標與一次函數(shù)解析式．

【考點要求】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系，拋物線與x軸的交點橫坐標是其對應的一元二次方程的兩個根．

【思路點撥】（1）由方程有兩個不相等的實數(shù)根，得：

△== ∴

又∵k為非負整數(shù)   ∴k=0，1

當k=0時，方程kx²+(2k-7)x+k+3=0不是一元二次方程，與題設矛盾

∴k=1

觀察圖①可以得出：直線＝1與直線y＝2x＋1的交點P的坐標（1，3）就是方程組的解，所以這個方程組的解為

在直角坐標系中，x≤1表示一個平面區(qū)域，即直線x＝1以及它左側的部分，如圖3-4中，圖②；y≤2x＋1也表示一個平面區(qū)域，即直線y＝2x＋1以及它下方的部分，如圖3-4中，圖③．

回答下列問題：

（1）在直角坐標系中，如圖3-5，用作圖象的方法求出方程組的解；

則是方程組的解．

（2）如陰影所示．

【答案】（1）；（2）如圖3-5所示。

【方法點撥】本題的難點是對題目條件所給信息的理解與運用。突破方法：結合圖形反復研讀，理解不等式與它所對應的直線的關系，并能在圖象中用陰影表示出來。運用這一知識求解不等式組時，也就是要找出各不等式所表示的陰影的公共部分。

例11如圖3-6，已知O為坐標原點，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且點A的坐標

為（2,0）．

（1） 求點B的坐標；

（2） 若二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A、B、O三點，求此二次函數(shù)的解析式；

（3） 在（2）中的二次函數(shù)圖象的OB段（不包括點O、B）上，是否存在一點C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時點C的坐標；若不存在，請說明理由．

【考點要求】本題考查求二次函數(shù)解析式，并探索拋物線上點的存在性，培養(yǎng)學生分析問題，解決問題的綜合能力．

【思路點撥】（1） 在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴ OB=. 過點B作BD垂直于x軸，垂足為D，則  OD=，BD=，∴ 點B的坐標為() ．

（2） 將A(2,0)、B()、O(0,0)三點的坐標代入y=ax²+bx+c，得

解方程組，有  a=，b=，c=0.

∴ 所求二次函數(shù)解析式是 y=x²+x.

（3） 設存在點C（x , x²+x）（其中0<x<)，使四邊形ABCO面積最大.

∵△OAB面積為定值，

∴只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大.

過點C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點F，則

S_△OBC= S_△OCF +S_△BCF==，

而 |CF|==，

∴ S_△OBC= .

∴ 當x=時，△OBC面積最大，最大面積為.

此時，點C坐標為()，四邊形ABCO的面積為.

【答案】（1）B；（2）y=x²+x；（3）存在點C坐標為()，此時四邊形ABCO的面積最大為。

【方法點撥】（1）解題方法較為靈活，容易解決。（2）因為已具備圖象上三點坐標，可直接設為一般式，代入三點求解；也可以設為兩根式，再代入點B坐標求解。（3）關鍵要抓住四邊形ABCO的面積由兩部分組成，其中△OAB面積為定值，因此要四邊形面積最大，問題轉(zhuǎn)化為判斷△OBC面積是否存在最大值。

●難點突破方法總結

函數(shù)在中考中占有很重要的地位，是中考必考內(nèi)容之一。課改實驗區(qū)的函數(shù)綜合題其背景材料更加豐富，更加貼近生活，更加注重對解決問題的思維過程的考查，但其計算量和書寫量與非課改區(qū)相比，又有較大幅度的下降。在完成函數(shù)問題方面，要注重以下幾點。

1.正確理解和掌握各種函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，這是解決所有函數(shù)問題的基本前提。

2.應用函數(shù)性質(zhì)解決相關問題時，要樹立數(shù)形結合思想，借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)，形象、直觀地解決有關不等式、最值、方程的解、以及圖形的位置關系等問題。

3.利用轉(zhuǎn)化思想，通過求點的坐標，來達到求線段長度；通過求線段的長度求點的坐標；通過一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系來解決拋物線與x軸交點問題。

4.探究性問題的解題思路沒有固定的模式和套路，解答相關問題時，可從以下幾個角度考慮：（1）特殊點法；（2）分類討論法；（3）類比猜測法等，最重要的還是要結合具體題目的特點進行分析，靈活選擇和運用適當?shù)臄?shù)學思想及解題技巧。

●拓展演練

1． 如果正比例函數(shù)及反比例函數(shù)圖象都經(jīng)過點（-2，4），則正比例函數(shù)的解析式為              ，反比例函數(shù)的解析式為                  ．

2. 拋物線的頂點坐標是　　　　　　，對稱軸是　　　　　．

3．二次函數(shù)與軸有　　　　　個交點，交點坐標是           ．

4．已知是整數(shù)，且一次函數(shù)的圖象不過第二象限，則m=       .

5．直線y =與兩坐標軸圍成的三角形面積是                 .

6．試寫出圖象位于第二象限與第四象限的一個反比例函數(shù)解析式                .

7. 反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，－1），則k的值為             ．

8. 雙曲線和一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象的兩個交點分別是A(－1，－4)，B(2，m)，則a＋2b＝____________．

10.在電壓一定的情況下，電流I（A）與電阻R（Ω）之間滿足如圖所示的反比例函數(shù)關系，則I關于R的函數(shù)表達式為                    ．

11. 直線y=kx+1一定經(jīng)過點（    ）

A．（1，0）        B．（1，k）        C．（0，k）          D．（0，1）

12. 如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E在AC上，若∠ADE=∠C，且AB=5，AC=4，AD=x，AE=y，則y與x的關系式是（    ）

   A．y=5x           B．y=x          C．y=x            D．y=x

13. y=(x－1)²＋2的對稱軸是直線�。ā　�

A．x=－1               B．x=1                C．y=－1               D．y=1

14. 如圖，△ABC和△DEF是兩個形狀大小完全相同的等腰直角三角形，∠B=∠DEF=90°，點B、C、E、F在同一直線上．現(xiàn)從點C、E重合的位置出發(fā)，讓△ABC在直線EF上向右作勻速運動，而△DEF的位置不動．設兩個三角形重合部分的面積為，運動的距離為．下面表示與的函數(shù)關系式的圖象大致是（    ）

15．點P（a，b）在第二象限，則點Q(a-１，b+1)在（    ）

A．第一象限      B．第二象限     C．第三象限     D．第四象限

16．下列函數(shù)中,自變量的取值范圍選取錯誤的是(    )

          A．中, 取全體實數(shù)        B．中, 取的實數(shù)

          C．中, 取的實數(shù)     D．中, 取的實數(shù)

17．當路程s一定時，速度v與時間t之間的函數(shù)關系是（　　）

A．反比例函數(shù)     B．正比例函數(shù)   C．一次函數(shù)    D．二次函數(shù)

18．若二次函數(shù)，當x取時，函數(shù)值相等，則當x取時，函數(shù)值為（    ）

A．a(chǎn)+c             B．a(chǎn)－c           C．－c           D．c

19．拋物線的一部分如圖所示，該拋物線在軸右側部分與軸交點的坐標是

A．（，0）       B．（1，0）      C．（2，0）      D．（3，0）

20．拋物線的圖角如圖，則下列結論：①＞0；②；③＜0；④＜0.其中正確的結論是（      ）

A．①②            B．②③          C．②④         D．③④

21．某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的日銷售價（元）與產(chǎn)品的日銷售量（件）之間的關系如下表：

（元）

15

20

25

30

…

（件）

25

20

15

10

…

（1）在草稿紙上描點，觀察點的頒布，建立與的恰當函數(shù)模型．

（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

22．如圖，在平面直角坐標系中，正方形AOCB的邊長為6，O為坐標原點，邊OC在x軸的正半軸上，邊OA在y軸的正半軸上，E是邊AB上的一點，直線EC交y軸于F，且S_△FAE∶S_{四邊形AOCE}＝1∶3．

（1） 求出點E的坐標；     

（2）求直線EC的函數(shù)解析式.

23．某廠從2001年起開始投入技術改進資金，經(jīng)技術改進后，其產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不斷降低，具體數(shù)據(jù)如下表：

年   度

2001

2002

2003

2004

投入技改資金z(萬元)

2.5

3

4

4.5

產(chǎn)品成本(萬元／件)

7.2

6

4.5

4

（1）請你認真分析表中數(shù)據(jù)，從你所學習過的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示其變化規(guī)律，說明確定是這種函數(shù)而不是其它函數(shù)的理由，并求出它的解析式；

（2）按照這種變化規(guī)律，若2005年已投人技改資金5萬元．

① 預計生產(chǎn)成本每件比2004年降低多少萬元?

② 如果打算在2005年把每件產(chǎn)品成本降低到3.2萬元，則還需投入技改資金多少萬元（結果精確到0.01萬元）?

24．已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）給定坐標系中，畫出函數(shù)的圖象；

（3）設函數(shù)圖象與x軸的交點為A（x₁，0）、B（x₂，0），求的值．

25．某校的圍墻上端由一段段相同的凹曲拱形柵欄組成，如圖所示，其拱形圖形為拋物線的一部分，柵欄的跨徑AB間，按相同的間距0.2米用5根立柱加固，拱高OC為0.6米．

（1）以O為原點，OC所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，請根據(jù)以上的數(shù)據(jù)，求出拋物線y=ax²的解析式；

（2）計算一段柵欄所需立柱的總長度．（精確到0.1米）

26．如圖，用長為18 m的籬笆（虛線部分），兩面靠墻圍成矩形的苗圃.

（1）設矩形的一邊為（m），面積為(m²)，求關

于的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）當為何值時，所圍苗圃的面積最大，最大面積是多少？

●習題答案

1． （提示：設正比例函數(shù)與反比例函數(shù)分別為，把點（-2，4）代入）

2.（－2，5），x=－2（提示：根據(jù)頂點式，頂點為，對稱軸為）

3．2，（－2，0）、（1，0）（提示：把y=0代入解析式得，解之得）

5．（提示：直線與x軸交點坐標為（－2，0），與y軸交點坐標為（0，－），所以圍成的三角形面積為）

6．（提示：答案不唯一，只需滿足k＜0）

7.－2（提示：由可得，把點（2，－1）代入即可）

8.－2（提示：把A（－1，－4）代入求得k=4，再把B（2，m）代入求得m=2，再把A（－1，－4），B（2，2）代入y＝ax＋b，可求得a=2，b=－2）

9. 1（提示：答案不唯一，只需滿足＜0即可）

10.（提示：設，把（2，3）代入，求得k=6）

11.D（提示：把各選項的坐標分別代入）

12.C（提示：根據(jù)題意，△AED∽△ABC，所以即，所以）

13. B（提示：根據(jù)頂點式，對稱軸為）

14. C（提示：由題意，y的變化規(guī)律為先由小變大，再由大變小，且拋物線的開口均向上）

15. B（提示：P（a，b）在第二象限，所以a＜0，b＞0，所以a-１＜0，b+1＞0，因此點Q(a-１，b+1)在第二象限）

16．D（提示：D項中分母不能為0，所以應取的x＞－3實數(shù)）

17．A（提示：由題意，當s一定時，速度v是時間t的反比例函數(shù)）

18．D（提示：二次函數(shù)對稱軸為y軸，當x取時函數(shù)值相等，所以關于對稱軸對稱，所以，把x=0代入解析式得y=c）

19．B（提示：由圖象可看出拋線對稱軸為x=－1，與x軸的一個交點為x=－3，則另一點與之關于x=－1對稱，為x=1，所以另一點為（1，0））

20．B（提示：由圖象可知＞0，＞0，＜0，所以＜0，所以＜0；又因為點（1，2）在拋物線上，把（1，2）代入解析式可得；由圖象可知，當x=－1時，對應的y在x軸下方，所以＜0；而拋物線與x軸有兩個交點，故＞0）

21．解：（1） 經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)各點分布在一條直線上，∴設 （k≠0）

用待定系數(shù)法求得

（2）設日銷售利潤為z ，則=

當x=25時，z最大為225，

所以當每件產(chǎn)品的銷售價定為25元時，日銷售利潤最大為225元．

22．解：（1） ∵S_△FAE∶S_{四邊形AOCE}＝1∶3，      ∴S_△FAE∶S_△FOC＝1∶4，

∵四邊形AOCB是正方形，      ∴AB∥OC，     ∴△FAE∽△FOC，∴AE∶OC＝1∶2，  

∵OA＝OC＝6，   ∴AE＝3，  ∴點E的坐標是(3,6)

（2） 設直線EC的解析式是y＝kx＋b，

∵直線y＝kx＋b過E(3,6)和C(6，0)

∴，解得：

∴直線EC的解析式是y＝－2x＋12

23．解：（1）設其為一次函數(shù)，解析式為

當時，；  當=3時，6．

    解得，  ∴一次函數(shù)解析式為

把時，代人此函數(shù)解析式，左邊≠右邊．   ∴其不是一次函數(shù)．

同理．其也不是二次函數(shù)．    

設其為反比例函數(shù)．解析式為．  當時，，

可得       解得    ∴反比例函數(shù)是．

驗證：當=3時，，符合反比例函數(shù)．

同理可驗證4時，，時，成立．

可用反比例函數(shù)表示其變化規(guī)律．

（2）解：①當5萬元時，，．     （萬元），

∴生產(chǎn)成本每件比2004年降低0．4萬元．

②當時，．     ∴

∴（萬元）

∴還約需投入0.63萬元．

24．解：（1）∵，

∴當x=2時，.  

（2）如圖，圖象是一條開口向上的拋物線．

對稱軸為x=2,頂點為（2，-3）．

（3）由題意，x₁，x₂，是方程x²-4x+1=0的兩根，

∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1. 

∴

25．解：（1） 由已知：OC=0.6，AC=0.6，得點A的坐標為（0.6，0.6），

代入y=ax²，得a=，        ∴拋物線的解析式為y=x².

（2）點D₁，D₂的橫坐標分別為0.2，0.4，

 代入y=x²，得點D₁，D₂的縱坐標分別為：y₁=×0.2²≈0.07，y₂=×0.4²≈0.27，

 ∴立柱C₁D₁=0.6－0.07=0.53，C₂D₂=0.6－0.27=0.33，

由于拋物線關于y軸對稱，柵欄所需立柱的總長度為：

2（C₁D₁+ C₂D₂）+OC=2（0.53+0.33）+0.6≈2.3米.

26．解：（1） 由已知，矩形的另一邊長為

則= =，自變量的取值范圍是0＜＜18.  

（2）∵  == 

∴ 當=9時（0＜9＜18)，苗圃的面積最大，最大面積是81      

又解:  ∵  =－1＜0，有最大值，        

∴  當 =時（0＜9＜18)， （） 

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