例1. 的值是_________________。

解：從組合數(shù)定義有：

又

代入再求，得出466。

例2. 到橢圓右焦點(diǎn)的距離與到定直線x＝6距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是_______________。

解：據(jù)拋物線定義，結(jié)合圖1知：

圖1

軌跡是以（5，0）為頂點(diǎn)，焦參數(shù)P＝2且開口方向向左的拋物線，故其方程為：

（二）直接法

這是解填空題的基本方法，它是直接從題設(shè)條件出發(fā)、利用定理、性質(zhì)、公式等知識(shí)，通過變形、推理、運(yùn)算等過程，直接得到結(jié)果。

例3設(shè)其中i，j為互相垂直的單位向量，又，則實(shí)數(shù)m =              。

解：∵，∴∴，而i，j為互相垂直的單位向量，故可得∴。

例4已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是      。

解：，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，在上為增函數(shù)，∴，∴。

例5現(xiàn)時(shí)盛行的足球彩票，其規(guī)則如下：全部13場(chǎng)足球比賽，每場(chǎng)比賽有3種結(jié)果：勝、平、負(fù)，13長(zhǎng)比賽全部猜中的為特等獎(jiǎng)，僅猜中12場(chǎng)為一等獎(jiǎng)，其它不設(shè)獎(jiǎng)，則某人獲得特等獎(jiǎng)的概率為         。

解：由題設(shè)，此人猜中某一場(chǎng)的概率為，且猜中每場(chǎng)比賽結(jié)果的事件為相互獨(dú)立事件，故某人全部猜中即獲得特等獎(jiǎng)的概率為。

（三）特殊化法

當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結(jié)果。

例6 在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c。若a、b、c成等差數(shù)列，則             。

解：特殊化：令，則△ABC為直角三角形，，從而所求值為。

例7 過拋物線的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF、FQ的長(zhǎng)分別為p、q，則           。

分析：此拋物線開口向上，過焦點(diǎn)且斜率為k的直線與拋物線均有兩個(gè)交點(diǎn)P、Q，當(dāng)k變化時(shí)PF、FQ的長(zhǎng)均變化，但從題設(shè)可以得到這樣的信息：盡管PF、FQ不定，但其倒數(shù)和應(yīng)為定值，所以可以針對(duì)直線的某一特定位置進(jìn)行求解，而不失一般性。

解：設(shè)k = 0，因拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為把直線方程代入拋物線方程得，∴，從而。

例8  求值         。

分析：題目中“求值”二字提供了這樣信息：答案為一定值，于是不妨令，得結(jié)果為。

例9如果函數(shù)f(x)=x²+bx+c對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1),f(2),f(4)的大小關(guān)系是              。

解：  由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的對(duì)稱軸是x=2�？扇√厥夂瘮�(shù)f(x)=(x-2)²,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4�！鄁(2)<f(1)<f(4)。

 例10已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₁,a₃,a₉成等比數(shù)列，則的值是    --。

解：  考慮到a₁,a₃,a₉的下標(biāo)成等比數(shù)列，故可令a_n=n滿足題設(shè)條件，于是=。

例11橢圓+=1的焦點(diǎn)為F₁、F₂，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F₁PF₂為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是               。

解：  設(shè)P(x,y)，則當(dāng)∠F₁PF₂=90°時(shí)，點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=5，由此可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=±，又當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，∠F₁PF₂=0；點(diǎn)P在y軸上時(shí)，∠F₁PF₂為鈍角，由此可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是-<x<。

（四）數(shù)形結(jié)合法

對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡(jiǎn)捷地解決問題，得出正確的結(jié)果。

例12   如果不等式的解集為A，且，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是          。

解：根據(jù)不等式解集的幾何意義，作函數(shù)和

函數(shù)的圖象（如圖），從圖上容易得出實(shí)數(shù)a的取

值范圍是。

例13  已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最大值是         。

解：可看作是過點(diǎn)P（x，y）與M（1，0）的直線的斜率，其中點(diǎn)P的圓上，如圖，當(dāng)直線處于圖中切線位置時(shí)，斜率最大，最大值為。

（五）等價(jià)轉(zhuǎn)化法

通過“化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化陌生為熟悉”，將問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出正確的結(jié)果。

例14  不等式的解集為（4，b），則a=           ，b=          。

解：設(shè)，則原不等式可轉(zhuǎn)化為：∴a > 0，且2與是方程的兩根，由此可得：。

例15  不論k為何實(shí)數(shù)，直線與曲線恒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是        。

解：題設(shè)條件等價(jià)于點(diǎn)（0，1）在圓內(nèi)或圓上，或等價(jià)于點(diǎn)（0，1）到圓，∴。

例16  函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為             。

解：易知∵y與y²有相同的單調(diào)區(qū)間，而，∴可得結(jié)果為。

    總之，能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，是快速準(zhǔn)確地解數(shù)學(xué)填空題的關(guān)鍵。

（六） 淘汰法

當(dāng)全部情況為有限種時(shí)，也可采用淘汰法。

例17. 已知，則與同時(shí)成立的充要條件是____________。

解：按實(shí)數(shù)b的正、負(fù)分類討論。

當(dāng)b>0時(shí)，而等式不可能同時(shí)成立；

當(dāng)b＝0時(shí)，無(wú)意義；

當(dāng)b<0時(shí)，若a<0，則兩不等式不可能同時(shí)成立，以上三種情況均被淘汰，故只能為a>0，b<0，容易驗(yàn)證，這確是所要求的充要條件。

1已知函數(shù)，則

講解　由，得，應(yīng)填4.

2． 集合的真子集的個(gè)數(shù)是

講解　，顯然集合M中有90個(gè)元素，其真子集的個(gè)數(shù)是，應(yīng)填.

3．在四面體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則        （用表示）．

4．（07廣東）在平面直角坐標(biāo)系中，有一定點(diǎn)，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是           ．

5．設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為          ．

6. 某地球儀上北緯緯線的長(zhǎng)度為，則該地球儀的表面積是___________

答案： cm²

7.如果函數(shù)，那么　

講解　容易發(fā)現(xiàn)，這就是我們找出的有用的規(guī)律，于是

    原式＝，應(yīng)填

8．下面有五個(gè)命題：

①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是.

②終邊在y軸上的角的集合是{a|a=|.

③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn).

④把函數(shù)

⑤函數(shù)

其中真命題的序號(hào)是    ① ④

9.　如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，那么

講解　，其中.

是已知函數(shù)的對(duì)稱軸，

，

即　　　　，

于是　　　　　故應(yīng)填 .

10.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中與的夾角為，與的夾角為，且，．若，則的值為

　　　6　　．

11．已知是公差不為零的等差數(shù)列，如果是的前n項(xiàng)和，那么

    講解　特別取，有，于是有　　　　　　　  故應(yīng)填2.

12.以下四個(gè)命題：

①

②

③凸n邊形內(nèi)角和為
④凸n邊形對(duì)角線的條數(shù)是

其中滿足“假設(shè)時(shí)命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立’’.但不滿足“當(dāng)（是題中給定的n的初始值）時(shí)命題成立”的命題序號(hào)是　　　　　　　.

講解 ①當(dāng)n=3時(shí)，，不等式成立；

②       當(dāng)n=1時(shí)，，但假設(shè)n=k時(shí)等式成立，則

　　　；

③　，但假設(shè)成立，則

④　，假設(shè)成立，則

故應(yīng)填②③.

　13．某商場(chǎng)開展促銷活動(dòng)，設(shè)計(jì)一種對(duì)獎(jiǎng)券，號(hào)碼從000000到999999. 若號(hào)碼的奇位數(shù)字是不同的奇數(shù)，偶位數(shù)字均為偶數(shù)時(shí)，為中獎(jiǎng)號(hào)碼，則中獎(jiǎng)面（即中獎(jiǎng)號(hào)碼占全部號(hào)碼的百分比）為　　　　　　　.

    講解 　中獎(jiǎng)號(hào)碼的排列方法是：　奇位數(shù)字上排不同的奇數(shù)有種方法，偶位數(shù)字上排偶數(shù)的方法有，從而中獎(jiǎng)號(hào)碼共有種，于是中獎(jiǎng)面為

    故應(yīng)填

14．  的展開式中的系數(shù)是

_{講解　由知，所求系數(shù)應(yīng)為的x項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的和，即有}

_{故應(yīng)填1008.}

   15． 過長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)為3、4、5, 且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，這個(gè)球的表面積是________.

講解　長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是外接球的直徑,　即有

從而　　　，故應(yīng)填

16． 如右圖，E、F分別是正方體的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，則四邊形BFD₁E在該正方體的面上的射影可能是　　　　　.（要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）

講解  因?yàn)檎�方體是對(duì)稱的幾何體，所以四邊形BFD₁E在該正方體的面上的射影可分為：上下、左右、前后三個(gè)方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB₁A₁、面ADD₁A₁上的射影.

四邊形BFD₁E在面ABCD和面ABB₁A₁上的射影相同，如圖2所示；

四邊形BFD₁E在該正方體對(duì)角面的ABC₁D₁內(nèi)，它在面ADD₁A₁上的射影顯然是一條線段，如圖3所示.  故應(yīng)填23.

    17． 橢圓上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m，則當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____________________.

講解  記橢圓的二焦點(diǎn)為，有

則知        

    顯然當(dāng)，即點(diǎn)P位于橢圓的短軸的頂點(diǎn)處時(shí)，m取得最大值25.

    故應(yīng)填或

  18．  一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數(shù)解析式是，在杯內(nèi)放一個(gè)玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的取值范圍是___________.

講解   依拋物線的對(duì)稱性可知，大圓的圓心在y軸上，并且圓與拋物線切于拋物線的頂點(diǎn)，從而可設(shè)大圓的方程為 

    由                  

消去x，得                                          （*）

解出                 或

    要使（*）式有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，只要且只需要即

    再結(jié)合半徑，故應(yīng)填

19． 已知a、b、c、d是四條互不重合的直線，且c、d分別為a、b在平面α上的射影，給出下面兩組四個(gè)論斷：

第一組：①a⊥b,②a∥b;

第二組：③c⊥d,④c∥d。

分別從兩組中各選一個(gè)論斷，使一個(gè)作條件，另一個(gè)作結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：                                              。

. 答：a∥bc∥d

20．定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f(x)滿足：f(x+1)= -f(x)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，下面是關(guān)于f(x)的判斷：

①f(x)是周期函數(shù)；

②f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱；

③f(x)在[0，1]上是增函數(shù)；

④f(x)在[1，2]上是減函數(shù)；

⑤f(2)=f(0)。

其中正確的判斷是            （把你認(rèn)為正確的判斷都填上）。

答：①②⑤

21．如圖14-10，已知正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁，過點(diǎn)A作截面，使正方體的12條棱所在直線與截面所成的角皆相等，試寫出滿足這樣條件的一個(gè)截面                  。

（注：只需任意寫出一個(gè)）

答：截面AB₁D₁，或截面ACD₁，或截面AB₁C 

22．如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有　390　　　　種（用數(shù)字作答）．

23.隨機(jī)變量的分布列如下：

其中成等差數(shù)列，若，則的值是          ．

24. 已知數(shù)列，，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么的值為__________答：99

25. ．有兩個(gè)向量，。今有動(dòng)點(diǎn)，從開始沿著與向量+相同的方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為|+|；另一動(dòng)點(diǎn)，從開始沿著與向量相同的方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為|3+2|．設(shè)、在時(shí)刻秒時(shí)分

別在、處，則當(dāng)時(shí)，    2       秒．