【題目】已知函數(shù),其中的導函數(shù),設(shè),且恒成立.

1)求的取值范圍;

2)設(shè)函數(shù)的零點為,函數(shù)的極小值點為,求證:.

【答案】1;(2)證明見解析

【解析】

1)先對函數(shù)求導,得到,推出,求導,得到,解對應不等式,得到單調(diào)性,求出其最小值,再根據(jù)恒成立,即可得出結(jié)果;

2)先設(shè),求導得.

設(shè),對其求導,判定單調(diào)性,從而得到函數(shù)單調(diào)性,得到是函數(shù)的極小值點,得到,再由(1)得時,,推出所以,得到,得到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,再由題意,即可得出結(jié)論成立.

1)由題設(shè)知,,

,,

,得,所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù);

,得,所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).

處取得最小值,且.

由于恒成立,所以,得,

所以的取值范圍為;

2)設(shè),則.

設(shè),

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,由(1)知,,

所以,

故存在,使得,

所以,當時,,,函數(shù)單調(diào)遞減;

時,,,函數(shù)單調(diào)遞增.

所以是函數(shù)的極小值點.因此,即.

由(1)可知,當時,,即,整理得,

所以.

因此,即.

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

由于,即,

,

所以.

又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以.

練習冊系列答案
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【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界.

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1)若集合,求當時,的值;

2)若集合,證明:時集合時集合(為了以示區(qū)別,用表示)有關(guān)系式,其中

3)對于(2)中集合.定義,求(用n表示).

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A.函數(shù)是奇函數(shù)B.對任意的,都有

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【題目】是異面直線,則下列命題中的假命題為( 。

A.過直線可以作一個平面并且只可以作一個平面與直線平行

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D.可能存在平面與直線都垂直

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【題目】若數(shù)列中存在三項,按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列,則稱等比源數(shù)列。

1)在無窮數(shù)列中,,,求數(shù)列的通項公式;

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3)已知無窮數(shù)列為等差數(shù)列,且,),求證:數(shù)列等比源數(shù)列”.

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