【題目】數(shù)列的前n項(xiàng)組成集合,從集合中任取個(gè)數(shù),其所有可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為(若只取一個(gè)數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),例如:對(duì)于數(shù)列,當(dāng)時(shí),時(shí),;
(1)若集合,求當(dāng)時(shí),的值;
(2)若集合,證明:時(shí)集合的與時(shí)集合的(為了以示區(qū)別,用表示)有關(guān)系式,其中;
(3)對(duì)于(2)中集合.定義,求(用n表示).
【答案】(1);(2)證明見解析;(3).
【解析】
(1)利用的定義可得的值.
(2)時(shí),集合的中乘積由兩部分構(gòu)成,一部分是乘積中含,另一部分不含,從而可得之間的關(guān)系.
(3)可先證明所有非空子集中各元素的乘積和為,從而可得.
(1)時(shí),,
所以,,.
(2)時(shí),集合的中各乘積由兩部分構(gòu)成,
一部分是乘積中含因數(shù),乘積的其他因數(shù)來自集合,故諸乘積和為;
另一部分不含,乘積的所有因數(shù)來自集合,故諸乘積的和為.
故.
(3)我們先證明一個(gè)性質(zhì):
所有非空子集中各元素的乘積和為.
證明:考慮的展開式,該展開式共有項(xiàng),
每一項(xiàng)均為各因式中選取或后的乘積(除去各項(xiàng)均選1).
對(duì)于的任意非空子集,
該集合中各元素的乘積為的展開式中的某一項(xiàng):即第個(gè)因式選擇, ,其余的因式選擇1,
注意到非空子集的個(gè)數(shù)為,
故的所有非空子集中各元素的乘積均在的展開式中恰好出現(xiàn)一次,
所以所有非空子集中各元素的乘積和為.
故對(duì)于,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)據(jù)是鄭州市普通職工個(gè)人的年收入,若這個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為,平均數(shù)為,方差為,如果再加上世界首富的年收入,則這個(gè)數(shù)據(jù)中,下列說法正確的是( )
A.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)一定變大,方差可能不變
B.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差變大
C.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差也不變
D.年收入平均數(shù)可能不變,中位數(shù)可能不變,方差可能不變
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校決定為本校上學(xué)所需時(shí)間不少于30分鐘的學(xué)生提供校車接送服務(wù).為了解學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間,從全校600名學(xué)生中抽取50人統(tǒng)計(jì)上學(xué)所需時(shí)間(單位:分鐘),將600人隨機(jī)編號(hào)為001,002,…,600,抽取的50名學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間均不超過60分鐘,將上學(xué)所需時(shí)間按如下方式分成六組,第一組上學(xué)所需時(shí)間在[0,10),第二組上學(xué)所需時(shí)間在[10,20)…,第六組上學(xué)所需時(shí)間在[50,60],得到各組人數(shù)的頻率分布直方圖,如下圖
(1)若抽取的50個(gè)樣本是用系統(tǒng)抽樣的方法得到,且第一個(gè)抽取的號(hào)碼為006,則第五個(gè)抽取的號(hào)碼是多少?
(2)若從50個(gè)樣本中屬于第四組和第六組的所有人中隨機(jī)抽取2人,設(shè)他們上學(xué)所需時(shí)間分別為a、b,求滿足的事件的概率;
(3)設(shè)學(xué)校配備的校車每輛可搭載40名學(xué)生,請(qǐng)根據(jù)抽樣的結(jié)果估計(jì)全校應(yīng)有多少輛這樣的校車?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,,,是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,其公差大于零.若線段,,,的長(zhǎng)分別為,,,,則( ).
A.對(duì)任意的,均存在以,,為三邊的三角形
B.對(duì)任意的,均不存在以,,為三邊的三角形
C.對(duì)任意的,均存在以,,為三邊的三角形
D.對(duì)任意的,均不存在以,,為三邊的三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,直線l與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),且點(diǎn)M滿足.
(1)若點(diǎn),求直線的方程;
(2)若直線l過點(diǎn)且不與x軸重合,過點(diǎn)M作垂直于l的直線與y軸交于點(diǎn),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,為的導(dǎo)函數(shù),設(shè),且恒成立.
(1)求的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為,函數(shù)的極小值點(diǎn)為,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位同學(xué)參加詩(shī)詞大賽,各答3道題,每人答對(duì)每道題的概率均為,且各人是否答對(duì)每道題互不影響.
(Ⅰ)用表示甲同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)設(shè)為事件“甲比乙答對(duì)題目數(shù)恰好多2”,求事件發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,平面,,,,,分別是,的中點(diǎn).
(1)求三棱錐的體積;
(2)若異面直線與所成的角為,求的值.
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