Question

【題目】定義在上的函數(shù)，如果滿(mǎn)足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱(chēng)是上的有界函數(shù)，其中稱(chēng)為函數(shù)的上界．

（1）設(shè)，判斷在上是否為有界函數(shù)，若是，請(qǐng)說(shuō)明理由，并寫(xiě)出的所有上界的集合；若不是，也請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）是，理由見(jiàn)解析，（2）

【解析】

（1）根據(jù)的單調(diào)性求得在區(qū)間上的取值范圍，由此得出，進(jìn)而判斷出在在上是有界函數(shù)，并由此求得所有上屆的集合.

（2）根據(jù)的上界得到，令進(jìn)行換元、分離常數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，然后利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上，函數(shù)的最大值以及函數(shù)的最小值，由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1），，則在上是增函數(shù)，故，即，

故，所以是有界函數(shù)．

所以，上界滿(mǎn)足，所有上界的集合是．

（2）由題意，對(duì)恒成立，

即，

令，則，原不等式變?yōu)?/span>，

故， 故，

令，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故.

令，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故．

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．