【題目】已知橢圓C:的左、右焦點分別是,點,若的內(nèi)切圓的半徑與外接圓的半徑的比是.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點M是橢圓C的左頂點,P、Q是橢圓上異于左、右頂點的兩點,設(shè)直線MP、MQ的斜率分別為、,若,試問直線PQ是否過定點?若過定點,求該定點坐標;若不過定點,請說明理由.
【答案】(1);(2)是,.
【解析】
(1)設(shè)內(nèi)切圓和外接圓的半徑分別是,則.利用三角形的面積公式求得與的關(guān)系式,利用正弦定理求得與的關(guān)系式,由此求得兩者直線的關(guān)系式,進而求得的值,以及橢圓的方程.
(2)當直線的斜率不存在時,設(shè)出的坐標,利用列方程,結(jié)合在橢圓上,求得的坐標,由此求得直線的方程.當直線斜率存在時,設(shè)出直線的方程,代入橢圓方程,化簡后寫出韋達定理和判別式,利用列方程,求得的關(guān)系式,由此判斷出直線所過定點坐標.
(1)由已知是橢圓的頂點,又分別是橢圓的左右焦點,則有,且.設(shè)的內(nèi)切圓半徑與外接圓的半徑分別是和,則.由,得,得.
設(shè),在中,,在中,由正弦定理得,即,所以.所以,即,即,化簡得,解得(舍去),所以.所以所求橢圓的方程是.
(2)由已知,設(shè),
若直線PQ的斜率不存在,不妨設(shè),
由得,即,
又,
即,得,解得舍或,
或,此時直線PQ的方程為,
若直線PQ的斜率存在,設(shè)直線PQ的方程為,
由,得,
,
由,得,
又,即,
即,即,
整理得,
,
整理得,解得,或,
當時,直線PQ:,即過定點,不符合題意,
當時,直線PQ:,即過定點.
綜上,直線PQ過定點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標系中兩個定點,,如果對于常數(shù),在函數(shù),的圖像上有且只有6個不同的點,使得成立,那么的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】第二屆中國國際進口博覽會于2019年11月5日至10日在上海國家會展中心舉行.它是中國政府堅定支持貿(mào)易自由化和經(jīng)濟全球化,主動向世界開放市場的重要舉措,有利于促進世界各國加強經(jīng)貿(mào)交流合作,促進全球貿(mào)易和世界經(jīng)濟增長,推動開放世界經(jīng)濟發(fā)展.某機構(gòu)為了解人們對“進博會”的關(guān)注度是否與性別有關(guān),隨機抽取了100名不同性別的人員(男、女各50名)進行問卷調(diào)查,并得到如下列聯(lián)表:
男性 | 女性 | 合計 | |
關(guān)注度極高 | 35 | 14 | 49 |
關(guān)注度一般 | 15 | 36 | 51 |
合計 | 50 | 50 | 100 |
(1)根據(jù)列聯(lián)表,能否有99.9%的把握認為對“進博會”的關(guān)注度與性別有關(guān);
(2)若從關(guān)注度極高的被調(diào)查者中按男女分層抽樣的方法抽取7人了解他們從事的職業(yè)情況,再從7人中任意選取2人談談關(guān)注“進博會”的原因,求這2人中至少有一名女性的概率.
附:.
參考數(shù)據(jù):
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界.
(1)設(shè),判斷在上是否為有界函數(shù),若是,請說明理由,并寫出的所有上界的集合;若不是,也請說明理由;
(2)若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),下列說法正確的是__________.的值域是;當時,方程有兩個不等實根;若函數(shù)有三個零點時,則;經(jīng)過有三條直線與相切.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年是中國成立70周年,也是全面建成小康社會的關(guān)鍵之年.為了迎祖國70周年生日,全民齊心奮力建設(shè)小康社會,某校特舉辦“喜迎國慶,共建小康”知識競賽活動.下面的莖葉圖是參賽兩組選手答題得分情況,則下列說法正確的是( )
A.甲組選手得分的平均數(shù)小于乙組選手的平均數(shù)B.甲組選手得分的中位數(shù)大于乙組選手的中位數(shù)
C.甲組選手得分的中位數(shù)等于乙組選手的中位數(shù)D.甲組選手得分的方差大于乙組選手的的方差
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,為坐標原點,C、D兩點的坐標為,曲線上的動點P滿足.又曲線上的點A、B滿足.
(1)求曲線的方程;
(2)若點A在第一象限,且,求點A的坐標;
(3)求證:原點到直線AB的距離為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某人打算做一個正四棱錐形的金字塔模型,先用木料搭邊框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一條棱和邊都相等.
(1)求證:直線AC垂直于直線SD;
(2)若搭邊框共使用木料24米,則需要多少立方米的填充材料才能將整個金字塔內(nèi)部填滿?
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