Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為,曲線上的動(dòng)點(diǎn)P滿足.又曲線上的點(diǎn)A、B滿足.

（1）求曲線的方程；

（2）若點(diǎn)A在第一象限，且，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（3）求證：原點(diǎn)到直線AB的距離為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）由，知，曲線是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸的橢圓，即可求曲線的方程（2）設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，由知，即可求點(diǎn)的坐標(biāo)（3）分類討論，設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出原點(diǎn)到直線的距離，即可證明原點(diǎn)到直線的距離為定值．

（1）由，知，曲線E是以C、D為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸的橢圓，

設(shè)其方程為，則有，

∴曲線E的方程為

（2）設(shè)直線OA的方程為，則直線OB的方程為

由則得，解得

同理，由則解得.

由知，

即

解得，因點(diǎn)A在第一象限，故，

此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（3）設(shè)，，

當(dāng)直線AB平行于坐標(biāo)軸時(shí)，由知A、B兩點(diǎn)之一為與橢圓的交點(diǎn)，

由

解得，

此時(shí)原點(diǎn)到直線AB的距離為，

當(dāng)直線AB不平行于坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程，

由得

由得

即

因

代入得即

原點(diǎn)到直線AB的距離.