【題目】若數(shù)列
中存在三項，按一定次序排列構成等比數(shù)列，則稱為“等比源數(shù)列”。
（1）在無窮數(shù)列中，
，
，求數(shù)列的通項公式；
（2）在（1）的結論下，試判斷數(shù)列是否為“等比源數(shù)列”，并證明你的結論；
（3）已知無窮數(shù)列為等差數(shù)列，且
，
（
），求證：數(shù)列為“等比源數(shù)列”.
【答案】（1）
；（2）不是，證明見解析；（3）證明見解析.
【解析】
（1）由
，可得出
，則數(shù)列
為等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項公式可間接求出
；
（2）假設數(shù)列
為“等比源數(shù)列”，則此數(shù)列中存在三項
成等比數(shù)列，可得出
，展開后得出
，然后利用數(shù)的奇偶性即可得出結論；
（3）設等差數(shù)列的公差為
，假設存在三項使得
，展開得出
，從而可得知，當
，
時，原命題成立.
（1）
，得，即
，且
.
所以，數(shù)列是以
為首項，以
為公比的等比數(shù)列，則
，
因此，；
（2）數(shù)列不是“等比源數(shù)列”，下面用反證法來證明.
假設數(shù)列是“等比源數(shù)列”，則存在三項
、
、，設
.
由于數(shù)列為單調遞增的正項數(shù)列，則
，所以.
得
，化簡得
，
等式兩邊同時除以
得
，
，且
、
、
，則
，
，
，
，
則
為偶數(shù)，
為奇數(shù)，等式不成立.
因此，數(shù)列中不存在任何三項，按一定的順序排列構成“等比源數(shù)列”；
（3）不妨設等差數(shù)列的公差
.
當
時，等差數(shù)列為非零常數(shù)列，此時，數(shù)列為“等比源數(shù)列”；
當
時，
，則
且
，
數(shù)列中必有一項
，
為了使得數(shù)列為“等比源數(shù)列”，只需數(shù)列中存在第項、第
項使得，
且有，即
，
，
當
時，即當，時，
等式成立，
所以，數(shù)列中存在、、成等比數(shù)列，因此，等差數(shù)列是“等比源數(shù)列”.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中
，
為
的導函數(shù)，設
，且
恒成立.
（1）求
的取值范圍；
（2）設函數(shù)的零點為
，函數(shù)的極小值點為
，求證：
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓
，設
是橢圓
上任一點，從原點
向圓
作兩條切線，切點分別為
．
（1）若直線
互相垂直，且點
在第一象限內(nèi)，求點
的坐標；
（2）若直線
的斜率都存在，并記為
，求證：
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
，其中
是自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）
，使得不等式
成立，試求實數(shù)
的取值范圍；
（Ⅱ）若
，求證：
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
、
滿足：
，
，
，
．
（1）求
，
，
，
；
（2）求證：數(shù)列
是等差數(shù)列，并求的通項公式；
（3）設
，若不等式
對任意
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知
,數(shù)列
、
滿足:
,
,記
．
（1）若
，
，求數(shù)列、的通項公式；
（2）證明：數(shù)列
是等差數(shù)列；
（3）定義
，證明：若存在
，使得
、
為整數(shù)，且
有兩個整數(shù)零點，則必有無窮多個
有兩個整數(shù)零點．
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