【題目】為了美化環(huán)境,某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪,休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD.其中AB=3百米,AD=百米,且△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形.?dāng)M修建兩條小路AC,BD(路的寬度忽略不計),設(shè)∠BAD=,(,).
(1)當(dāng)cos=時,求小路AC的長度;
(2)當(dāng)草坪ABCD的面積最大時,求此時小路BD的長度.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)在△ABD中,由余弦定理可求BD的值,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinθ,根據(jù)正弦定理可求sin∠ADB,進而可求cos∠ADC的值,在△ACD中,利用余弦定理可求AC的值.
(2)由(1)得:BD2=14﹣6cosθ,根據(jù)三角形面積公式,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求.SABCD=7sin(θ﹣φ),結(jié)合題意當(dāng)θ﹣φ時,四邊形ABCD的面積最大,即θ=φ,此時cosφ,sinφ,從而可求BD的值.
(1)在中,由,
得,又,∴.
∵ ∴
由得:,解得:,
∵是以為直角頂點的等腰直角三角形 ∴且
∴
在
解得:
(2)由(1)得:,
,此時,,且
當(dāng)時,四邊形的面積最大,即,此時,
∴,即
答:當(dāng)時,小路的長度為百米;草坪的面積最大時,小路的長度為百米.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項和為,,且,數(shù)列滿足,,對任意,都有.
(1)求數(shù)列、的通項公式;
(2)令.若對任意的,不等式恒成立,試求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為拋物線: 的焦點,過點作兩條互相垂直的直線,直線交于不同的兩點,直線交于不同的兩點,記直線的斜率為.
(1)求的取值范圍;
(2)設(shè)線段的中點分別為點,求證: 為鈍角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:若函數(shù)的定義域為,且存在非零常數(shù),對任意 , 恒成立,則稱為線周期函數(shù), 為的線周期.
(1)下列函數(shù)①,②,③(其中表示不超過x的最大整數(shù)),是線周期函數(shù)的是 (直接填寫序號);
(2)若為線周期函數(shù),其線周期為,求證: 為周期函數(shù);
(3)若為線周期函數(shù),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗證這個結(jié)論,從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué),給所有同學(xué)幾何和代數(shù)各一題,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進行解答,統(tǒng)計情況如下表:(單位:人)
幾何題 | 代數(shù)題 | 總計 | |
男 同學(xué) | 22 | 8 | 30 |
女同學(xué) | 8 | 12 | 20 |
總計 | 30 | 20 | 50 |
(1)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)?
(2)現(xiàn)從選擇幾何題的8名女生中任意抽取兩人對他們的答題進行研究,記甲、乙兩名女生被抽到的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,點,以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓,記點的軌跡為.
(1)求曲線的方程;
(2)若為曲線上的兩點,記, ,且,試問的面積是否為定值?如果是,請給予證明;如果不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中,角所對的邊分別為,滿足.
(1)求的大;
(2)如圖,,在直線的右側(cè)取點,使得.當(dāng)角為何值時,四邊形面積最大.
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