【題目】已知為拋物線: 的焦點(diǎn),過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,直線交于不同的兩點(diǎn),直線交于不同的兩點(diǎn),記直線的斜率為.
(1)求的取值范圍;
(2)設(shè)線段的中點(diǎn)分別為點(diǎn),求證: 為鈍角.
【答案】(1){k|-<k<0或k>2}(2)見解析
【解析】試題分析:
(1)由題意可設(shè)直線m的方程為y=k(x-2),將其代入拋物線方程后可得到一二次方程,根據(jù)判別式大于零可得k<0,或k>2.同理設(shè)直線n的方程為y=t(x-2),可得t<0,或t>2.根據(jù)以kt=-1,可解得k>0或-<k<0,從而可得所求范圍.(2)由(1)可得點(diǎn)M(2k,2k2-2k),N(2t,2t2-2t),根據(jù)F(0,1)可得到的坐標(biāo),通過證明且不共線可得為鈍角.
試題解析:
(1)由題可知k≠0,設(shè)直線m的方程為y=k(x-2),
由消去y整理得x2-4kx+8k=0,①
因為直線直線m交于不同的兩點(diǎn),
所以Δ=16k2-32k>0,
解得k<0,或k>2.
設(shè)直線n的方程為y=t(x-2),
由消去y整理得x2-4tx+8t=0,
同理由Δ>0可得t<0,或t>2.
因為m⊥n,
所以kt=-1,
得-,或-,
解得k>0或-<k<0.
故k的取值范圍為{k|-<k<0或k>2}.
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).
由①得x1+x2=4k,
所以,
故,
所以點(diǎn)M(2k,2k2-2k).
同理可得N(2t,2t2-2t),
又F(0,1),
所以=(2k,2k2-2k-1), =(2t,2t2-2t-1),
=4kt+(2k2-2k-1)(2t2-2t-1),
將kt=-1代入上式可得,
=-2k2-2t2+6(k+t)-3=-2(k+t)2+6(k+t)-7=-2(k+t-)2-<0
因為2k(2t2-2t-1)-2t(2k2-2k-1)=2(+k)≠0,
所以與不共線.
所以可得∠MFN為鈍角.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓,圓.
(1)若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為,求直線的方程;
(2)設(shè)動圓同時平分圓的周長、圓的周長.
①證明:動圓圓心在一條定直線上運(yùn)動;
②動圓是否經(jīng)過定點(diǎn)?若經(jīng)過,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)()的圖像上存在點(diǎn),函數(shù)的圖像上存在點(diǎn),且關(guān)于原點(diǎn)對稱,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如下:
(1)求頻率直方圖中a的值;
(2)分別求出成績落在[50,60)與[60,70)中的學(xué)生人數(shù);
(3)從成績在[50,70)的學(xué)生中人選2人,求這2人的成績都在[60,70)中的概率.
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【題目】下列說法正確的是( )
A. 天氣預(yù)報說明天下雨的概率為,則明天一定會下雨
B. 不可能事件不是確定事件
C. 統(tǒng)計中用相關(guān)系數(shù)來衡量兩個變量的線性關(guān)系的強(qiáng)弱,若則兩個變量正相關(guān)很強(qiáng)
D. 某種彩票的中獎率是,則買1000張這種彩票一定能中獎
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【題目】大慶實驗中學(xué)在高二年級舉辦線上數(shù)學(xué)知識競賽,在已報名的400名學(xué)生中,根據(jù)文理學(xué)生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖:
(1)估算一下本次參加考試的同學(xué)成績的中位數(shù)和眾數(shù);
(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);
(3)已知樣本中有一半理科生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的文理科生人數(shù)相等.試估計總體中理科生和文科生人數(shù)的比例.
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【題目】某書店銷售剛剛上市的某高二數(shù)學(xué)單元測試卷,按事先擬定的價格進(jìn)行5天試銷,每種單價試銷1天,得到如下數(shù)據(jù):
單價x/元 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
銷量y/冊 | 61 | 56 | 50 | 48 | 45 |
(1)求試銷天的銷量的方差和關(guān)于的回歸直線方程;
附: .
(2)預(yù)計以后的銷售中,銷量與單價服從上題中的回歸直線方程,已知每冊單元測試卷的成本是10元,為了獲得最大利潤,該單元測試卷的單價應(yīng)定為多少元?
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(1)當(dāng)cos=時,求小路AC的長度;
(2)當(dāng)草坪ABCD的面積最大時,求此時小路BD的長度.
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