【題目】正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn2﹣（n2+n﹣1）Sn﹣（n2+n）=0
（1）求數(shù)列{an}的通項公式an；
（2）令bn= ，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn ， 證明：對于任意的n∈N* ， 都有Tn ．

【答案】
（1）解：∵Sn2﹣（n2+n﹣1）Sn﹣（n2+n）=0，

∴（Sn﹣（n2+n））（Sn+1）=0，

∴Sn=n2+n，或Sn=﹣1（舍去），

故正項數(shù)列{an}為等差數(shù)列，

其中a1=1+1=2，a2=S2﹣S1=4，

故an=2+2（n﹣1）=2n；


（2）解：∵bn= = （ ﹣ ），

∴Tn= （1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

= （1+ ﹣ ﹣ ）

= ﹣ （ + ）；

故Tn＜ ．


【解析】（1）因式分解可得（Sn﹣（n2+n））（Sn+1）=0，從而求得Sn=n2+n，從而判斷出{an}為等差數(shù)列，從而解得；（2）裂項bn= = （ ﹣ ），從而求其前n項和證明不等式即可．
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識點，需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題．

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（Ⅱ）若，證明：.

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A.4
B.
C.8
D.9

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（1）求數(shù)列{an}和{bn}通項公式；
（2）設(shè) ，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn ．

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