【題目】【2017廣東佛山二!設(shè)函數(shù),其中,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若是上的增函數(shù),求的取值范圍;
(Ⅱ)若,證明:.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(I)由于函數(shù)單調(diào)遞增,故導(dǎo)函數(shù)恒為非負(fù)數(shù),分離常數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值,由此得到的取值范圍;(II)將原不等式,轉(zhuǎn)化為,令,求出的導(dǎo)數(shù),對(duì)分成兩類,討論函數(shù)的最小值,由此證得,由此證得.
試題解析:
(Ⅰ),是上的增函數(shù)等價(jià)于恒成立.
令,得,令().以下只需求的最大值.
求導(dǎo)得,
令,,是上的減函數(shù),
又,故1是的唯一零點(diǎn),
當(dāng),,,遞增;當(dāng),,,遞減;
故當(dāng)時(shí),取得極大值且為最大值,
所以,即的取值范圍是.
(Ⅱ).
令(),以下證明當(dāng)時(shí),的最小值大于0.
求導(dǎo)得.
①當(dāng)時(shí),,;
②當(dāng)時(shí),,令,
則,又,
取且使,即,則,
因?yàn)?/span>,故存在唯一零點(diǎn),
即有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn),又,
且,即,故,
因?yàn)?/span>,故是上的減函數(shù).
所以,所以.
綜上,當(dāng)時(shí),總有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為迎接“雙十一”活動(dòng),某網(wǎng)店需要根據(jù)實(shí)際情況確定經(jīng)營(yíng)策略.
(1)采購(gòu)員計(jì)劃分兩次購(gòu)買一種原料,第一次購(gòu)買時(shí)價(jià)格為a元/個(gè),第二次購(gòu)買時(shí)價(jià)格為b元/個(gè)(其中a≠b).該采購(gòu)員有兩種方案:方案甲:每次購(gòu)買m個(gè);方案乙:每次購(gòu)買n元.請(qǐng)確定按照哪種方案購(gòu)買原料平均價(jià)格較。
(2)“雙十一”活動(dòng)后,網(wǎng)店計(jì)劃對(duì)原價(jià)為100元的商品兩次提價(jià),現(xiàn)有兩種方案:方案丙:第一次提價(jià)p,第二次提價(jià)q;方案。旱谝淮翁醿r(jià) ,第二次提價(jià) ,(其中p≠q)請(qǐng)確定哪種方案提價(jià)后價(jià)格較高.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生,將他們的模塊測(cè)試成績(jī)分為6組:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知高一年級(jí)共有學(xué)生600名,據(jù)此估計(jì),該模塊測(cè)試成績(jī)不少于60分的學(xué)生人數(shù)為( )
A.588
B.480
C.450
D.120
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓N經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,1),B(﹣1,3),且它的圓心在直線3x﹣y﹣2=0上.
(Ⅰ)求圓N的方程;
(Ⅱ)求圓N關(guān)于直線x﹣y+3=0對(duì)稱的圓的方程.
(Ⅲ)若點(diǎn)D為圓N上任意一點(diǎn),且點(diǎn)C(3,0),求線段CD的中點(diǎn)M的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn2﹣(n2+n﹣1)Sn﹣(n2+n)=0
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)令bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn , 證明:對(duì)于任意的n∈N* , 都有Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx﹣x2 , a∈R,
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若x≥1時(shí),f(x)≤0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè)a>0,若A(x1 , y1),B(x2 , y2)為曲線y=f(x)上的兩個(gè)不同點(diǎn),滿足0<x1<x2 , 且x3∈
(x1 , x2),使得曲線y=f(x)在x=x3處的切線與直線AB平行,求證:x3< .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB= ,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).
(1)求證:AM∥平面BDE;
(2)求證:AM⊥平面BDF;
(3)求A點(diǎn)到面BDF的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】100輛汽車通過(guò)某一段公路時(shí),時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示,則時(shí)速在[50,70)的汽車大約有( 。
A.60輛
B.80輛
C.70輛
D.140輛
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