【題目】如圖,四棱錐的底面為直角梯形,,且

為等邊三角形,平面平面;點(diǎn)分別為的中點(diǎn).

(1)證明:平面;

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】

(1)求解線面平行,根據(jù)題意,連接相應(yīng)的中位線,根據(jù)中位線的關(guān)系可得,四邊形是平行四邊形.

(2) 設(shè)的中點(diǎn)為, 可證兩兩垂直,以點(diǎn)為原點(diǎn),軸,軸,軸建立坐標(biāo)系,然后求出平面的法向量,最后利用向量的內(nèi)積關(guān)系即可求解出直線與平面所成角的正弦值.

(1)設(shè)的中點(diǎn)為,連接

的中點(diǎn),所以的中位線,

則可得,且;

在梯形中,,且

,

所以四邊形是平行四邊形,

,又平面,平面,

平面

法二:設(shè)的中點(diǎn),連接,

的中點(diǎn),

所以的中位線,所以,

平面,平面

平面,

又在梯形中,,且,

所以四邊形是平行四邊形,

,

平面平面,

平面

,

所以平面平面,

平面

平面

(2)設(shè)的中點(diǎn)為,又

因?yàn)槠矫?/span>平面,交線為,平面,

平面,

又由,

即有兩兩垂直,如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn),軸,軸,軸建立坐標(biāo)系.

已知點(diǎn),

設(shè)平面的法向量為:

則有 ,可得平面的一個(gè)法向量為,

可得:,

所以直線與平面所成角的正弦值為

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專業(yè)

性別

非統(tǒng)計(jì)專業(yè)

統(tǒng)計(jì)專業(yè)

13

10

7

20

本題可以參考獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表:

0.5

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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2)若恒成立,求的最小值.

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2)為提高學(xué)生學(xué)習(xí)語文的興趣,學(xué)校決定在隨機(jī)抽取的名學(xué)生中成立“二幫一”小組,即從成績中選兩位同學(xué),共同幫助中的某一位同學(xué).已知甲同學(xué)的成績?yōu)?/span>分,乙同學(xué)的成績?yōu)?/span>分,求甲乙恰好被安排在同一小組的概率.

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