【題目】如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,點(diǎn)P、Q分別是AB、AC上的一動(dòng)點(diǎn),且滿足BP=AQ,D是BC的中點(diǎn).
(1)求證:△PDQ是等腰直角三角形;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形APDQ是正方形,并說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
試題分析:(1)連接AD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD=DC,從而證明△BPD≌△AQD,得到PD=QD,∠ADQ=∠BDP,則△PDQ是等腰三角形;由∠BDP+∠ADP=90°,得出∠ADP+∠ADQ=90°,得到△PDQ是直角三角形,從而證出△PDQ是等腰直角三角形;
(2)若四邊形APDQ是正方形,則DP⊥AP,得到P點(diǎn)是AB的中點(diǎn).
(1)證明:連接AD
∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中點(diǎn)
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,
在△BPD和△AQD中,
,
∴△BPD≌△AQD(SAS),
∴PD=QD,∠ADQ=∠BDP,
∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADP+∠ADQ=90°,即∠PDQ=90°,
∴△PDQ為等腰直角三角形;
(2)解:當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí),四邊形APDQ是正方形;理由如下:
∵∠BAC=90°,AB=AC,D為BC中點(diǎn),
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠B=∠C=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí),DP⊥AB,即∠APD=90°,
又∵∠A=90°,∠PDQ=90°,
∴四邊形APDQ為矩形,
又∵DP=AP=AB,
∴矩形APDQ為正方形(鄰邊相等的矩形為正方形).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號(hào)里:﹣2.5,,0,8,﹣2,,0.7,,﹣1.121121112…,,0..
正數(shù)集合{ …};
負(fù)數(shù)集合{ …};
整數(shù)集合{ …};
有理數(shù)集合{ …};
無理數(shù)集合{ …}.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角三角形,兩條直角邊分別為6cm,8cm,斜邊長為10cm,若分別以一邊旋轉(zhuǎn)一周(①結(jié)果用π表示;②你可能用到其中的一個(gè)公式,V圓柱=πr2h,V球體=,V圓錐=h)
(1)如果繞著它的斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是?
(2)如果繞著它的直角邊6所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積是多少?
(3)如果繞著它的斜邊10所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積與繞著直角邊8所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積哪個(gè)大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A,B,C,D,E,F(xiàn)是邊長為1的正六邊形的頂點(diǎn),連接任意兩點(diǎn)均可得到一條線段.在連接兩點(diǎn)所得的所有線段中任取一條線段,取到長度為的線段的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)長方形ABCD,其中AB和BC分別在兩直角邊上,設(shè)AB=xm,長方形的面積為ym2,要使長方形的面積最大,其邊長x應(yīng)為( )
A.m B.6m C.25m D.m
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在綜合實(shí)踐活動(dòng)中,同學(xué)們制作了兩塊直角三角形硬紙板,一塊含有30°角,一塊含有45°角,并且有一條直角邊是相等的.現(xiàn)將含45°角的直角三角形硬紙板重疊放在含30°角的直角三角形硬紙板上,讓它們的直角完全重合.如圖2,若相等的直角邊AC長為12cm,求另一條直角邊沒有重疊部分BD的長(結(jié)果用根號(hào)表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了了解初三年級(jí)1000名學(xué)生的身體健康情況,從該年級(jí)隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生,將他們按體重(均為整數(shù),單位:kg)分成五組(A:39.5~46.5;B:46.5~53.5;C:53.5~60.5;D:60.5~67.5;E:67.5~74.5),并依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
解答下列問題:
(1)這次抽樣調(diào)查的樣本容量是 ,并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)C組學(xué)生的頻率為 ,在扇形統(tǒng)計(jì)圖中D組的圓心角是 度;
(3)請(qǐng)你估計(jì)該校初三年級(jí)體重超過60kg的學(xué)生大約有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABDE中,C是BD邊的中點(diǎn).若AC平分∠BAE,∠ACE=90°,猜想線段AE、AB、DE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖①、②,解答下面各題:
(1)圖①中,∠AOB=55°,點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部,過點(diǎn)P作PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分別為E、F,求∠EPF的度數(shù)。
(2)圖②中,點(diǎn)P在∠AOB外部,過點(diǎn)P作PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分別為E、F,那么∠P與∠O有什么關(guān)系?為什么?
(3)通過上面這兩道題,你能說出如果一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊,則這兩個(gè)角是什么關(guān)系?
(4)如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊,則這兩個(gè)角是什么關(guān)系?(請(qǐng)畫圖說明結(jié)果,不需要過程)
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