【題目】(問(wèn)題背景)
(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”,請(qǐng)說(shuō)明∠A+∠B=∠C+∠D;
(簡(jiǎn)單應(yīng)用)
(2)如圖2, AP、CP分別平分∠BAD. ∠BCD,若∠ABC=46°,∠ADC=26°,求∠P的度數(shù);
(問(wèn)題探究)
(3)如圖3,直線AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,請(qǐng)猜想∠P的度數(shù),并說(shuō)明理由.
(拓展延伸)
(4) ①在圖4中,若設(shè)∠C=α,∠B=β,∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,試問(wèn)∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為: (用α、β表示∠P);
②在圖5中,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE, 猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系,直接寫出結(jié)論.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)36°;(3)26°,理由見(jiàn)解析;(4)①∠P=②∠P=
【解析】
(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明;
(2)直接利用(1)中的結(jié)論兩次,兩式相加,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可;
(3)由AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,推出∠1=∠2,∠3=∠4,推出∠PAD=180°﹣∠2,∠PCD=180°﹣∠3,由∠P+(180°﹣∠1)=∠D+(180°﹣∠3),∠P+∠1=∠B+∠4,推出2∠P=∠B+∠D,即可解決問(wèn)題.
(4)①同法利用(1)種的結(jié)論列出方程即可解決問(wèn)題.
②同法利用(1)種的結(jié)論列出方程即可解決問(wèn)題.
(1)在△AEB中,∠A+∠B+∠AEB=180°.
在△CED中,∠C+∠D+∠CED=180°.
∵∠AEB=∠CED,
∴∠A+∠B=∠C+∠D;
(2)由(1)得:∠1+∠B=∠3+∠P,∠4+∠D=∠2+∠P,
∴∠1+∠B+∠4+∠D =∠3+∠P+∠2+∠P.
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°,
∴∠P=36°.
(3)∠P=26°,理由是:如圖3:
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠PAD=180°﹣∠2,∠PCD=180°﹣∠3.
∵∠PAB=∠1,∠P+∠PAB =∠B+∠4,
∴∠P+∠1=∠B+∠4.
∵∠P+(180°﹣∠2)=∠D+(180°﹣∠3),
∴2∠P=∠B+∠D,
∴∠P=(∠B+∠D)=×(36°+16°)=26°.
(4)①設(shè)∠CAP=m,∠CDP=n,則∠CAB=3m,,∠CDB=3n,
∴∠PAB=2m,∠PDB=2n.
∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC,∠P+∠PAB=∠B+∠PDB,
∵∠C=α,∠B=β,
∴α+m=∠P+n,∠P+2m=β+2n,
∴α-∠P = n-m,∠P-β=2n-2m=2(n-m),
∴2α+β=3∠P
∴∠P=.
故答案為:∠P=.
②設(shè)∠BAP=x,∠PCE=y,則∠PAO=x,∠PCB=y.
∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D,∠B+∠BAO=∠OCD+∠D,
∴x+∠P=180°-y+∠D,∠B+2x=180°-2y+∠D,
∴∠P=.
故答案為:∠P=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=a(x﹣h)2+k(a,h,k為常數(shù))在坐標(biāo)平面上的圖象通過(guò)(0,5)、(15,8)兩點(diǎn).若a<0,0<h<10,則h之值可能為下列何值?( )
A.5
B.6
C.7
D.8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,小剛從點(diǎn) 出發(fā),沿著坡度為 的斜坡向上走了650米到達(dá)點(diǎn) ,且 .
(1)則他上升的高度是 米 ;
(2)然后又沿著坡度為 的斜坡向上走了1000米達(dá)到點(diǎn) .問(wèn)小剛從 點(diǎn)到 點(diǎn)上升的高度 是多少米(結(jié)果保留根號(hào))?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系 中,矩形 的邊 在 軸上,頂點(diǎn) 在拋物線 上,且拋物線交 軸于另一點(diǎn) .
(1)則 = , =;
(2)已知 為 邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與 、 重合),連結(jié) 交 于點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) 作 軸的平行線分別交拋物線、直線 于 、 .
①求線段 的最大值,此時(shí) 的面積為;
②若以點(diǎn) 為圓心, 為半徑作⊙O,試判斷直線 與⊙O的能否相切,若能請(qǐng)求出 點(diǎn)坐標(biāo),若不能請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平行于x軸的直線AC分別交函數(shù)y1=x2(x≥0)與y2= (x≥0)的圖象于B、C兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作y軸的平行線交y1的圖象于點(diǎn)D,直線DE∥AC,交y2的圖象于點(diǎn)E,則 = .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,EF∥AD,∠1=∠2.證明:∠DGA+∠BAC=180°.請(qǐng)完成說(shuō)明過(guò)程.
解:∵EF∥AD,(已知)
∴∠2=∠3.( )
又∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠3,(等量代換)
∴AB∥ ,( )
∴∠DGA+∠BAC=180°.( )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠BAC 的角平分線與 BC 的垂直平分線交于點(diǎn) D,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分別為 E,F(xiàn).若 AB=10,AC=8,求 BE 長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問(wèn)途中,看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題:求59319的立方根.華羅庚脫口而出:39.眾人感覺(jué)十分驚奇,請(qǐng)華羅庚給大家解讀其中的奧秘.
你知道怎樣迅速準(zhǔn)確的計(jì)算出結(jié)果嗎?請(qǐng)你按下面的問(wèn)題試一試:
①,又,
,∴能確定59319的立方根是個(gè)兩位數(shù).
②∵59319的個(gè)位數(shù)是9,又,∴能確定59319的立方根的個(gè)位數(shù)是9.
③如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59,
而,則,可得,
由此能確定59319的立方根的十位數(shù)是3
因此59319的立方根是39.
(1)現(xiàn)在換一個(gè)數(shù)195112,按這種方法求立方根,請(qǐng)完成下列填空.
①它的立方根是_______位數(shù).
②它的立方根的個(gè)位數(shù)是_______.
③它的立方根的十位數(shù)是__________.
④195112的立方根是________.
(2)請(qǐng)直接填寫結(jié)果:
①________.
②________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列條件中,不能判斷△ABC是直角三角形的是( 。
A. a:b:c=3:4:5 B. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
C. ∠A+∠B=∠C D. a:b:c=1:2:
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