【題目】如圖,AE切⊙O于點E,AT交⊙O于點M,N,線段OE交AT于點C,OB⊥AT于點B,已知∠EAT=30°,AE=3 ,MN=2 .
(1)求∠COB的度數(shù);
(2)求⊙O的半徑R;
(3)點F在⊙O上( 是劣。褽F=5,把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后,使它的兩個頂點分別與點E,F(xiàn)重合.在EF的同一側(cè),這樣的三角形共有多少個?你能在其中找出另一個頂點在⊙O上的三角形嗎?請在圖中畫出這個三角形,并求出這個三角形與△OBC的周長之比.
【答案】
(1)
解:∵AE切⊙O于點E,
∴AE⊥CE,又OB⊥AT,
∴∠AEC=∠CBO=90°,
又∠BCO=∠ACE,
∴△AEC∽△OBC,又∠A=30°,
∴∠COB=∠A=30°
(2)
解:∵AE=3 ,∠A=30°,
∴在Rt△AEC中,tanA=tan30°= ,即EC=AEtan30°=3,
∵OB⊥MN,∴B為MN的中點,又MN=2 ,
∴MB= MN= ,
連接OM,在△MOB中,OM=R,MB= ,
∴OB= = ,
在△COB中,∠BOC=30°,
∵cos∠BOC=cos30°= = ,
∴BO= OC,
∴OC= OB= ,
又OC+EC=OM=R,
∴R= +3,
整理得:R2+18R﹣115=0,即(R+23)(R﹣5)=0,
解得:R=﹣23(舍去)或R=5,
則R=5
(3)
解:以EF為斜邊,有兩種情況,以EF為直角邊,有四種情況,所以六種,
畫直徑FG,連接EG,延長EO與圓交于點D,連接DF,如圖所示:
∵EF=5,直徑ED=10,可得出∠FDE=30°,
∴FD=5 ,
則C△EFD=5+10+5 =15+5 ,
由(2)可得C△COB=3+ ,
∴C△EFD:C△COB=(15+5 ):(3+ )=5:1.
∵EF=5,直徑FG=10,可得出∠FGE=30°,
∴EG=5 ,
則C△EFG=5+10+5 =15+5 ,
∴C△EFG:C△COB=(15+5 ):(3+ )=5:1
【解析】(1)由AE與圓O相切,根據(jù)切線的性質(zhì)得到AE與CE垂直,又OB與AT垂直,可得出兩直角相等,再由一對對頂角相等,利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形AEC與三角形OBC相似,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得出所求的角與∠A相等,由∠A的度數(shù)即可求出所求角的度數(shù);(2)在直角三角形AEC中,由AE及tanA的值,利用銳角三角函數(shù)定義求出CE的長,再由OB垂直于MN,由垂徑定理得到B為MN的中點,根據(jù)MN的長求出MB的長,在直角三角形OBM中,由半徑OM=R,及MB的長,利用勾股定理表示出OB的長,在直角三角形OBC中,由表示出OB及cos30°的值,利用銳角三角函數(shù)定義表示出OC,用OE﹣OC=EC列出關(guān)于R的方程,求出方程的解得到半徑R的值;(3)把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后,使它的兩個頂點分別與點E,F(xiàn)重合,在EF的同一側(cè),這樣的三角形共有3個.延長EO與圓交于點D,連接DF,如圖所示,由第二問求出半徑,的長直徑ED的長,根據(jù)ED為直徑,利用直徑所對的圓周角為直角,得到三角形EFD為直角三角形,由∠FDE為30°,利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長,表示出三角形EFD的周長,再由第二問求出的三角形OBC的三邊表示出三角形BOC的周長,即可求出兩三角形的周長之比.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,∠AOB是直角,∠AOC=40°,ON是∠AOC的平分線,OM是∠BOC的平分線.
(1)求∠MON的大小.
(2)當(dāng)銳角∠AOC的大小發(fā)生改變時,∠MON的大小是否發(fā)生改變?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探索規(guī)律,觀察下面算式,解答問題.
1+3 =4 =22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+7+9=25=52;
(1)請猜想1+3+5+7+9+…+19=
(2)請猜想1+3+5+7+9+…+(2n-1)+(2n +1)+(2n +3)=
(3)試計算:101 +103+…+197 +199.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一組互不全等的三角形,它們的邊長均為整數(shù),每個三角形有兩條邊的長分別為5和7.
(1)請寫出其中一個三角形的第三邊的長;
(2)設(shè)組中最多有n個三角形,求n的值;
(3)當(dāng)這組三角形個數(shù)最多時,從中任取一個,求該三角形周長為偶數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,分別以AB,CD為邊向外側(cè)作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF,連接AF,DE.
(1)求證:AF=DE;
(2)若∠BAD=45°,AB=a,△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積,求BC的長.
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【題目】先計算,再找出規(guī)律,然后根據(jù)規(guī)律進行計算.
(1)計算:① ② ③
(2)根據(jù)(1)中的計算,用字母表示出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.
=__________________
(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論,計算下列結(jié)果:
①
②
③
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點O是坐標原點,點B(0,12),點A在第一象限內(nèi),△AOB為等腰三角形,∠BAO=90°,AB=AO,AC⊥OB,點D從點B出發(fā),以每秒2個單位的速度沿y軸向終點O運動,連接DA,過點A作AE⊥AD,射線AE交x軸于點E,連接BE,交線段AC于點F,交線段OA于點G.
(1)請直接寫出A的坐標;
(2)點D運動的時間為t秒時,用含t的代數(shù)式表示△ACD的面積S,并寫出t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)四邊形DAEO的面積等于6S時,求△AGF的面積.
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【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,D為BC邊上一個動點(D與B、C均不重合),AD=AE,∠DAE=60°,連接CE.
(1)求證:△ABD≌△ACE;
(2)求證:CE平分∠ACF;
(3)若AB=2,當(dāng)四邊形ADCE的周長取最小值時,求BD的長.
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