【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B(0,12),點(diǎn)A在第一象限內(nèi),△AOB為等腰三角形,∠BAO=90°,AB=AO,AC⊥OB,點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度沿y軸向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),連接DA,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD,射線AE交x軸于點(diǎn)E,連接BE,交線段AC于點(diǎn)F,交線段OA于點(diǎn)G.
(1)請(qǐng)直接寫出A的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒時(shí),用含t的代數(shù)式表示△ACD的面積S,并寫出t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)四邊形DAEO的面積等于6S時(shí),求△AGF的面積.
【答案】(1)A(6,6);(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(不包括點(diǎn)C),即:0≤t<3,S= 18﹣6t,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(不包括點(diǎn)C),即:3<t≤6,∴S= 6t﹣18;(3)①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(不包括點(diǎn)C),即:0≤t<3,S△AFG=6;②當(dāng)點(diǎn)D在線段OC上(不包括點(diǎn)C),即:3<t≤6,S△AFG=.
【解析】
(1)先確定出OB=12,再用等腰直角三角形的性質(zhì)得AC=BC=OC=OB=6,即可得出結(jié)論;
(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(不包括點(diǎn)C),即:0≤t<3,得出CD=BC-BD=6-2t,利用三角形面積公式即可;
當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(不包括點(diǎn)C),即:3<t≤6,如圖2,CD=BD-BC=2t-6,最后利用三角形面積公式即可;
(3)①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(不包括點(diǎn)C),即:0≤t<3,如圖1,先判斷出S△ACD=S△AME,進(jìn)而S四邊形DOEA=S正方形ACOM=AC2=36,即可求出S,進(jìn)而t=2,CD=EM=2,OE=4,再求出AF=AC-CF=4=OE,最后判斷出△AFG≌△OEG,求出PG=QG=6即可得出結(jié)論;
②當(dāng)點(diǎn)D在線段OC上(不包括點(diǎn)C),即:3<t≤6,如圖2,同①的方法知,S=6,t=4,CD=EM=2,OE=8,同①的方法得,OF=4,即AF=AC-OF=2,再判斷出△AFG∽△OEG,得出h'=4h,即可得出h=即可得出結(jié)論.
(1)∵B(0,12),
∴OB=12,
∵△AOB為等腰三角形,∠BAO=90°,AB=AO,AC⊥OB,
∴AC=BC=OC=OB=6,
∴A(6,6);
(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(不包括點(diǎn)C),即:0≤t<3,如圖1,
由運(yùn)動(dòng)知,BD=2t,
∴CD=BC﹣BD=6﹣2t,
∴S=S△ACD=CD×AC=18﹣6t,
當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(不包括點(diǎn)C),即:3<t≤6,如圖2,
由運(yùn)動(dòng)知,BD=2t,
∴CD=BD﹣BC=2t﹣6,
∴S=S△ACD=CD×AC=6t﹣18;
(3)①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(不包括點(diǎn)C),即:0≤t<3,如圖1,
過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于M,
∴四邊形OCAM是矩形,
∵A(6,6),
∴AC=AM,
∴矩形OCAM是正方形,
∴OM=AC=6,∠CAM=90°,
∵∠DAE=90°,
∴∠CAD=∠EAM,
在△ACD和△AME中,
,
∴△ACD≌△AME,
∴S△ACD=S△AME,
∴S四邊形DOEA=S△ACD+S四邊形COEA=S△AMF+S四邊形COEA=S正方形ACOM=AC2=36,
∵四邊形DAEO的面積等于6S,
∴6S=36,
∴S=6,
由(2)知,S=18﹣6t,
∴18﹣6t=6,
∴t=2,
∴CD=EM=6﹣2t=2,
∵OM=6,
∴OE=OM﹣EM=4,
∵AC∥OM,OC=BC,
∴CF=OE=2,
∴AF=AC﹣CF=4=OE,
過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥OM于Q,交AC于P,
∴PG⊥AC,
∴四邊形OCPQ是矩形,
∴PQ=OC=6,
易知,△AFG≌△OEG,
∴PG=QG=6,
∴S△AFG=AF×PG=6;
②當(dāng)點(diǎn)D在線段OC上(不包括點(diǎn)C),即:3<t≤6,如圖2,
同①的方法知,S=6,
∵S=6t﹣18,
∴6t﹣18=6,
∴t=4,
∴CD=EM=2,
∴OE=8,
同①的方法得,OF=4,
∴AF=AC﹣OF=2,
∵AC∥OM,
∴△AFG∽△OEG,
設(shè)△AFG的邊AF上的高為h,△OEG的邊OE上的高為h',
∴.
∴h'=4h,
∵h+h'=6,
∴h=,
∴S△AFG=AF×h=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M是邊AB的中點(diǎn),連接CM并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使得EM=AB,D是邊AC上一點(diǎn),且AD=BC,聯(lián)結(jié)DE,求∠CDE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AE切⊙O于點(diǎn)E,AT交⊙O于點(diǎn)M,N,線段OE交AT于點(diǎn)C,OB⊥AT于點(diǎn)B,已知∠EAT=30°,AE=3 ,MN=2 .
(1)求∠COB的度數(shù);
(2)求⊙O的半徑R;
(3)點(diǎn)F在⊙O上( 是劣。,且EF=5,把△OBC經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后,使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E,F(xiàn)重合.在EF的同一側(cè),這樣的三角形共有多少個(gè)?你能在其中找出另一個(gè)頂點(diǎn)在⊙O上的三角形嗎?請(qǐng)?jiān)趫D中畫出這個(gè)三角形,并求出這個(gè)三角形與△OBC的周長(zhǎng)之比.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖,請(qǐng)回答下列問(wèn)題:
(1)與面B、C相對(duì)的面分別是 ;
(2)若A=a3+a2b+3,B=a2b﹣3,C=a3﹣1,D=﹣(a2b﹣6),且相對(duì)兩個(gè)面所表示的代數(shù)式的和都相等,求E、F分別代表的代數(shù)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,已知∠ABC=90°,△ABC是等腰三角形,點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn),連接DB,過(guò)點(diǎn)A作∠BAC的平分線,分別與DB,BC相交于點(diǎn)E,F(xiàn).
(1)求證:BE=BF;
(2)如圖2,連接CE,在不添加任何輔助線的條件下,直接寫出圖中所有的等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(2,0)、C(0,12)兩點(diǎn),且對(duì)稱軸為直線x=4.設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P,與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.
(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)如圖1,在直線 y=2x上是否存在點(diǎn)D,使四邊形OPBD為等腰梯形?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖2,點(diǎn)M是線段OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(O、P兩點(diǎn)除外),以每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O 運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)M作直線MN∥x軸,交PB于點(diǎn)N.將△PMN沿直線MN對(duì)折,得到△P1MN.在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,設(shè)△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABD和△BCD都是等邊三角形紙片,AB=2,將△ABD紙片翻折,使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處,折痕為FG,點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上.
(1)求證:△FBE是直角三角形;
(2)求BF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=4,AC=6,∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作MN∥BC分別交AB、AC于M、N,則△AMN的周長(zhǎng)為( 。
A. 10 B. 6 C. 4 D. 不確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,AD和AE分別是△ABC的BC邊上的高和中線,點(diǎn)D是垂足,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),規(guī)定:λA= .特別地,當(dāng)點(diǎn)D、E重合時(shí),規(guī)定:λA=0.另外,對(duì)λB、λC作類似的規(guī)定.
(1)如圖2,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,求λA、λC;
(2)在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1的4×4的方格紙上,畫一個(gè)△ABC,使其頂點(diǎn)在格點(diǎn)(格點(diǎn)即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn))上,且λA=2,面積也為2;
(3)判斷下列三個(gè)命題的真假(真命題打“√”,假命題打“×”):
①若△ABC中λA<1,則△ABC為銳角三角形;
②若△ABC中λA=1,則△ABC為直角三角形;
③若△ABC中λA>1,則△ABC為鈍角三角形. .
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