【題目】已知二次函數的圖象經過A(2,0)、C(0,12)兩點,且對稱軸為直線x=4.設頂點為點P,與x軸的另一交點為點B.
(1)求二次函數的解析式及頂點P的坐標;
(2)如圖1,在直線 y=2x上是否存在點D,使四邊形OPBD為等腰梯形?若存在,求出點D的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)如圖2,點M是線段OP上的一個動點(O、P兩點除外),以每秒 個單位長度的速度由點P向點O 運動,過點M作直線MN∥x軸,交PB于點N.將△PMN沿直線MN對折,得到△P1MN.在動點M的運動過程中,設△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S,運動時間為t秒.求S關于t的函數關系式.
【答案】
(1)
解:設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c
由題意得 ,
解得 ,
∴二次函數的解析式為y=x2﹣8x+12,
點P的坐標為(4,﹣4)
(2)
解:方法一:
存在點D,使四邊形OPBD為等腰梯形.理由如下:
當y=0時,x2﹣8x+12=0,
∴x1=2,x2=6,
∴點B的坐標為(6,0),
設直線BP的解析式為y=kx+m
則 ,
解得
∴直線BP的解析式為y=2x﹣12
∴直線OD∥BP,
∵頂點坐標P(4,﹣4),
∴OP=4
設D(x,2x)則BD2=(2x)2+(6﹣x)2
當BD=OP時,(2x)2+(6﹣x)2=32,
解得:x1= ,x2=2,
當x2=2時,OD=BP= ,四邊形OPBD為平行四邊形,舍去,
∴當x= 時四邊形OPBD為等腰梯形,
∴當D( , )時,四邊形OPBD為等腰梯形
方法二:
設D(t,2t),O(0,0),P(4,﹣4),B(6,0),
∴KBP= =2,KOD= =2,
∴KBP=KOD,
∴BP∥OD,
∵四邊形OPBD為等腰梯形,∴DB=OP,
(t﹣6)2+(2t﹣0)2=(4﹣0)2+(﹣4﹣0)2,
∴t1=2(舍),t2= ,∴D( , )
(3)
解:方法一:
①當0<t≤2時,
∵運動速度為每秒 個單位長度,運動時間為t秒,則MP= t,
∴PH=t,MH=t,HN= (4﹣t),
∴MN=MH+HN=2+ t,
∴S= t2;
②當2<t<4時,P1G=2t﹣4,P1H=t,
∵MN∥OB
∴△P1EF∽△P1MN,
∴ ,
∴ ,
∴ =3t2﹣12t+12,
∴S= t2﹣(3t2﹣12t+12)=﹣ t2+12t﹣12,
∴當0<t≤2時,S= t2,
當2<t<4時,S=﹣ t2+12t﹣12
方法二:
O(0,0),P(4,﹣4),
∴l(xiāng)OP:y=﹣x,
∴M(4﹣t,t﹣4),
∵B(6,0),∴l(xiāng)BP:y=2x﹣12,
∴N( ,t﹣4),
①當0<t≤2時,S= = = ,
②當2<t<4時,
∵△PMN與△P′MN關于MN對稱,
∴KMP′+KMP=0,KNP′+KNP=0,
∴l(xiāng)MP′:y=x+2t﹣8,lNP′:y=﹣2x+2t+4,
∴D(8﹣2t,0),C(t+2,0),
∴S= (CD+MN)|MY|= =﹣ .
【解析】(1)利用對稱軸公式,A、C兩點坐標,列方程組求a、b、c的值即可;(2)存在.由(1)可求直線PB解析式為y=2x﹣12,可知PB∥OD,利用BD=PO,列方程求解,注意排除平行四邊形的情形;(3)由P(4,﹣4)可知直線OP解析式為y=﹣x,當P1落在x軸上時,M、N的縱坐標為﹣2,此時t=2,按照0<t≤2,2<t<4兩種情形,分別表示重合部分面積.
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點,需要掌握增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.
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【題目】下列計算正確的是( )
A.(﹣p2q)3=﹣p5q3
B.(12a2b3c)÷(6ab2)=2ab
C.3m2÷(3m﹣1)=m﹣3m2
D.(x2﹣4x)x﹣1=x﹣4
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【題目】先計算,再找出規(guī)律,然后根據規(guī)律進行計算.
(1)計算:① ② ③
(2)根據(1)中的計算,用字母表示出你發(fā)現的規(guī)律.
=__________________
(3)根據(2)中的結論,計算下列結果:
①
②
③
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【題目】華聯超市用6000元購進甲、乙兩種商品,其中乙商品的件數比甲商品件數的多15件,甲、乙兩種商品的進價和售價如下表:(注:獲利=售價﹣進價)
甲 | 乙 | |
進價(元/件) | 22 | 30 |
售價(元/件) | 29 | 40 |
(1)該商場購進甲、乙兩種商品各多少件?
(2)該超市將購進的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點O是坐標原點,點B(0,12),點A在第一象限內,△AOB為等腰三角形,∠BAO=90°,AB=AO,AC⊥OB,點D從點B出發(fā),以每秒2個單位的速度沿y軸向終點O運動,連接DA,過點A作AE⊥AD,射線AE交x軸于點E,連接BE,交線段AC于點F,交線段OA于點G.
(1)請直接寫出A的坐標;
(2)點D運動的時間為t秒時,用含t的代數式表示△ACD的面積S,并寫出t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,當四邊形DAEO的面積等于6S時,求△AGF的面積.
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【題目】直接寫出計算結果:
(1) -2-11 = (2) 5-(-12)=
(3) (-5)×(-6) = (4)
(5) = (6) =
(7)-3.5+3.5 = (8) =
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【題目】(12分)當我們利用兩種不同的方法計算同一圖形的面積時,可以得到一個等式.例如,由圖①,可得等式:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
(1)由圖②,可得等式:__________________________;
(2)利用(1)中所得到的結論,解決下面的問題:
已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值;
(3)利用圖③中的紙片(足夠多),畫出一種拼圖,使該拼圖可用來驗證等式:2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b);
(4)琪琪用2張邊長為a的正方形,3張邊長為b的正方形,5張邊長分別為a,b的長方形紙片重新拼出一個長方形,那么該長方形較長的一條邊長為________.
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【題目】如圖,點 O為數軸原點,點A表示的數是4,將線段OA沿數軸移動,移動后的線段記為O′A′.
(1)當點O′恰好是OA的中點時,數軸上點A′表示的數為 .
(2)設點A的移動距離AA′=x.
①當O′A=1時,求x的值;
②D為線段AA′的中點,點E在線段OO′上,且OE=OO′,當點D,E所表示的數互為相反數時,求x的值.
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