【題目】已知一個直角三角形紙片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.如圖,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中,折疊該紙片,折痕與邊OB交于點C,與邊AB交于點D.
(1)若折疊后使點B與點A重合,求點C的坐標(biāo);
(2)若折疊后點B落在邊OA上的點為B′,設(shè)OB′=x,OC=y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并確定y的取值范圍;
(3)若折疊后點B落在邊OA上的點為B′,且使B′D//OB,求此時點C的坐標(biāo).
【答案】(1) C(0,);(2)y=﹣x2+2,y的取值范圍是≤y≤2. (3)C的坐標(biāo)是(0,﹣16+8)
【解析】
(1)因為折疊后點B與點A重合,那么BC=AC,可先設(shè)出C點的坐標(biāo),然后表示出BC,AC,在直角三角形OCA中,根據(jù)勾股定理即可求出C點的縱坐標(biāo),也就求出了C點的坐標(biāo);
(2)方法同(1)用OC表示出BC,B′C然后在直角三角形OB′C中根據(jù)勾股定理得出x,y的關(guān)系式.由于B′在OA上,因此有0≤x≤2,由此可求出y的取值范圍;
(3)根據(jù)(1)(2)的思路,應(yīng)該先得出OB″,OC的關(guān)系,知道OA,OB的值,那么可以通過證Rt△COB″∽Rt△BOA來實現(xiàn).∠B″CO和∠CB″D是平行線B″D,OB的內(nèi)錯角,又因為∠OBA=∠CB″D,因此∠B″CO=∠OBA,即CB″∥BA,由此可得出兩三角形相似,得出OC,OB″的比例關(guān)系,然后根據(jù)(1)(2)的思路,在直角三角形OB″C中求出OC的值,也就求出C點的坐標(biāo)了.
(1)如圖①,折疊后點B與點A重合,則△ACD≌△BCD.
設(shè)點C的坐標(biāo)為(0,m)(m>0),則BC=OB-OC=4-m.
∴AC=BC=4-m.
在Rt△AOC中,由勾股定理,AC2=OC2+OA2,
即(4-m)2=m2+22,解得m=.
∴點C的坐標(biāo)為(0,);
(2)如圖②,折疊后點B落在OA邊上的點為B′,
∴△B′CD≌△BCD.
∵OB′=x,OC=y,
∴B′C=BC=OB-OC=4-y,
在Rt△B′OC中,由勾股定理,得B′C2=OC2+OB′2.
∴(4-y)2=y2+x2,
即y=-x2+2.
由點B′在邊OA上,有0≤x≤2,
∴解析式y=-x2+2(0≤x≤2)為所求.
∵當(dāng)0≤x≤2時,y隨x的增大而減小,
∴y的取值范圍為≤y≤2;
(3)如圖③,折疊后點B落在OA邊上的點為B″,且B″D∥OC.
∴∠OCB″=∠CB″D.
又∵∠CBD=∠CB″D,
∴∠OCB″=∠CBD,
∵CB″∥BA.
∴Rt△COB″∽Rt△BOA.
∴,
∴OC=2OB″.
在Rt△B″OC中,
設(shè)OB″=x0(x0>0),則OC=2x0.
由(2)的結(jié)論,得2x0=-x02+2,
解得x0=-8±4.
∵x0>0,
∴x0=-8+4.
∴點C的坐標(biāo)為(0,-16+8).
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【題目】已知函數(shù),下列說法正確的是( )
A. 方程=-3必有實數(shù)根
B. 若移動函數(shù)圖象使其經(jīng)過原點,則只能將圖像向右移動1個單位
C. 若k>0,則當(dāng)x>0時,必有y隨著x的增大而增大
D. 若k<0,則當(dāng)x<-1時,必有y隨著x的增大而增大
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【題目】閱讀下列材料
計算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)(+),令+=t,則:
原式=(1﹣t)(t+)﹣(1﹣t﹣)t=t+﹣t2﹣+t2=
在上面的問題中,用一個字母代表式子中的某一部分,能達(dá)到簡化計算的目的,這種思想方法叫做“換元法”,請用“換元法”解決下列問題:
(1)計算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)×(+)
(2)因式分解:(a2﹣5a+3)(a2﹣5a+7)+4
(3)解方程:(x2+4x+1)(x2+4x+3)=3
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【題目】如圖,PA,PB是⊙O的兩條切線,切點分別為A,B,OP交AB于點C,OP=13,sin∠APC=.
(1)求⊙O的半徑;
(2)求弦AB的長.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E,F分別是AB,BC的中點,EF與BD交于點H.
(1)求證:四邊形DEBC是平行四邊形;
(2)若BD=6,求DH的長.
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【題目】小明想利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測量學(xué)校旗桿高度,如圖,旗桿的頂端垂下一繩子,將繩子拉直釘在地上,末端恰好在C處且與地面成60°角,小明拿起繩子末端,后退至E處,拉直繩子,此時繩子末端D距離地面1.6m且繩子與水平方向成45°角.
(1)填空:AD_____AC(填“>”,“<”,“=”).
(2)求旗桿AB的高度.
(參考數(shù)據(jù): ≈1.41, ≈1.73,結(jié)果精確到0.1m).
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【題目】定義:如果一個四邊形存在一條對角線,使得這條對角線是四邊形某兩邊的比例中項,則稱這個四邊形為“閃亮四邊形”,這條對角線稱為“亮線”.如圖1,四邊形ABCD中,AB=AC=AD,滿足AC2=ABAD,四邊形ABCD是閃亮四邊形,AC是亮線.
(1)以下說法正確的是______(填寫序號)
①正方形不可能是閃亮四邊形;
②矩形中存在閃亮四邊形;
③若一個菱形是閃亮四邊形,則必有一個內(nèi)角是60°.
(2)如圖2,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=9,AB=12,CD=20,判斷哪一條線段是四邊形ABCD的亮線?請你作出判斷并說明理由.
(3)如圖3,AC是閃亮四邊形ABCD的唯一亮線,∠ABC=90°,∠D=60°,AB=4,BC=2,請直接寫出線段AD的長.
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【題目】如圖,點A是x軸負(fù)半軸上的一個動點,點C在y軸上,以AC為對角線畫正方形ABCD,已知點C的坐標(biāo)是C(0,4),設(shè)點A的坐標(biāo)為A(n,0),連接OD,當(dāng)OD=時,n=_____.
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