Question

【題目】如圖，線段BC所在的直線 是以AB為直徑的圓的切線，點D為圓上一點，滿足BD＝BC，且點C、D位于直徑AB的兩側(cè)，連接CD交圓于點E. 點F是BD上一點，連接EF，分別交AB、BD于點G、H，且EF＝BD.

(1)求證：EF∥BC；

(2)若EH＝4，HF＝2，求的長.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）根據(jù)EF＝BD可得＝，進而得到，根據(jù)“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等”即可得出角相等進而可證.

（2）連接DF，根據(jù)切線的性質(zhì)及垂徑定理求出GF、GE的長，根據(jù)“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等”及平行線求出相等的角，利用銳角三角函數(shù)求出∠BHG，進而求出∠BDE的度數(shù)，確定所對的圓心角的度數(shù)，根據(jù)∠DFH＝90°確定DE為直徑，代入弧長公式即可求解.

(1)∵EF＝BD，

∴＝

∴

∴∠D＝∠DEF

又BD＝BC，

∴∠D＝∠C，

∴∠DEF=∠C

EF∥BC

(2)∵AB是直徑，BC為切線，

∴AB⊥BC

又EF∥BC，

∴AB⊥EF，弧BF=弧BE,

GF＝GE＝(HF+EH)=3，HG=1

DB平分∠EDF，

又BF∥CD，

∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝∠BFH

∴HB＝HF＝2

∴cos∠BHG＝＝，∠BHG＝60°.

∴∠FDB＝∠BDE＝30°

∴∠DFH＝90°，DE為直徑，DE＝4，且弧BE所對圓心角＝60°.

∴弧BE＝×4＝