【題目】如圖1,A,B分別在射線OA,ON上,且∠MON為鈍角,現(xiàn)以線段OA,OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形,分別是△OAP,△OBQ,點C,D,E分別是OA,OB,AB的中點.

(1)求證:△PCE≌△EDQ;
(2)延長PC,QD交于點R.
①如圖1,若∠MON=150°,求證:△ABR為等邊三角形;
②如圖3,若△ARB∽△PEQ,求∠MON大小和 的值.

【答案】
(1)

證明:∵點C、D、E分別是OA,OB,AB的中點,

∴DE=OC,∥OC,CE=OD,CE∥OD,

∴四邊形ODEC是平行四邊形,

∴∠OCE=∠ODE,

∵△OAP,△OBQ是等腰直角三角形,

∴∠PCO=∠QDO=90°,

∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO=∠ODQ=∠EDQ,

∵PC= AO=OC=ED,CE=OD= OB=DQ,

在△PCE與△EDQ中, ,

∴△PCE≌△EDQ;


(2)

解:①如圖2,

連接RO,

∵PR與QR分別是OA,OB的垂直平分線,

∴AP=OR=RB,

∴∠ARC=∠ORC,∠ORQ=∠BRO,

∵∠RCO=∠RDO=90°,∠COD=150°,

∴∠CRD=30°,

∴∠ARB=60°,

∴△ARB是等邊三角形;

②由(1)得,EQ=EP,∠DEQ=∠CPE,

∴∠PEQ=∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ=∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE=∠ACE﹣∠RCE=∠ACR=90°,

∴△PEQ是等腰直角三角形,

∵△ARB∽△PEQ,

∴∠ARB=∠PEQ=90°,

∴∠OCR=∠ODR=90°,∠CRD= ∠ARB=45°,

∴∠MON=135°,

此時P,O,B在一條直線上,△PAB為直角三角形,且∠APB=90°,

∴AB=2PE=2× PQ= PQ,

=


【解析】(1)根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到DE=OC,∥OC,CE=OD,CE∥OD,推出四邊形ODEC是平行四邊形,于是得到∠OCE=∠ODE,根據(jù)等腰直角三角形的定義得到∠PCO=∠QDO=90°,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到得到PC=ED,CE=DQ,即可得到結(jié)論(2)①連接RO,由于PR與QR分別是OA,OB的垂直平分線,得到AP=OR=RB,由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ARC=∠ORC,∠ORQ=∠BRO,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠CRD=30°,即可得到結(jié)論;
②由(1)得,EQ=EP,∠DEQ=∠CPE,推出∠PEQ=∠ACR=90°,證得△PEQ是等腰直角三角形,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ARB=∠PEQ=90°,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠MON=135°,求得∠APB=90°,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論.本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

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A.
B.
C.
D.

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(1)本次問卷共隨機調(diào)查了名學(xué)生,扇形統(tǒng)計圖中m=
(2)請根據(jù)數(shù)據(jù)信息補全條形統(tǒng)計圖.
(3)若該校有1000名學(xué)生,估計選擇“非常了解”、“比較了解”共約有多少人?

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(1)如圖1,若BP=3,求△ABP的周長;

(2)如圖2,若DP平分∠ADC,試猜測PBPC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

(3)若△PDC是等腰三角形,作點B關(guān)于AP的對稱點B′,連結(jié)B′D,則B′D=_____.(請直接寫出答案)

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1+3+5+…+(2n﹣1)+()+(2n﹣1)+…+5+3+1=

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