【題目】如圖,已知⊙O的直徑AB=12cm,AC是⊙O的弦,過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接BC.

(1)求證:∠PCA=∠B
(2)已知∠P=40°,點(diǎn)Q在優(yōu)弧ABC上,從點(diǎn)A開始逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止(點(diǎn)Q與點(diǎn)C不重合),當(dāng)△ABQ與△ABC的面積相等時(shí),求動(dòng)點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)。

【答案】
(1)

證明:連接OC,

∵PC是⊙O的切線,

∴∠PCO=90°,

∴∠1+∠PCA=90°,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ACB=90°,

∴∠2+∠B=90°,

∵OC=OA,

∴∠1=∠2,

∴∠PCA=∠B;


(2)

解:∵∠P=40°,

∴∠AOC=50°,

∵AB=12,

∴AO=6,

當(dāng)∠AOQ=∠AOC=50°時(shí),△ABQ與△ABC的面積相等,

∴點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)==,

當(dāng)∠BOQ=∠AOC=50°時(shí),即∠AOQ=130°時(shí),△ABQ與△ABC的面積相等,

∴點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)==

當(dāng)∠BOQ=50°時(shí),即∠AOQ=230°時(shí),△ABQ與△ABC的面積相等,

∴點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)==

∴當(dāng)△ABQ與△ABC的面積相等時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為


【解析】(1)證明:連接OC,由PC是⊙O的切線,得到∠1+∠PCA=90°,由AB是⊙O的直徑,得到∠2+∠B=90°,于是得到結(jié)論;
(2)當(dāng)∠AOQ=∠AOC=50°時(shí),△ABQ與△ABC的面積相等,求得點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)==,當(dāng)∠BOQ=∠AOC=50°時(shí),即∠AOQ=130°時(shí),△ABQ與△ABC的面積相等,求得點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)==,當(dāng)∠BOQ=50°時(shí),即∠AOQ=230°時(shí),△ABQ與△ABC的面積相等,
∴點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)==
此題考查了圓的應(yīng)用,包括切線的性質(zhì)和弧長(zhǎng)的計(jì)算。注意分情況討論,熟練掌握弧長(zhǎng)公式。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,點(diǎn)P在AB上,AP=2,點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā),分別沿PA、PB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A、B勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止,點(diǎn)E也隨之停止.在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,以EF為邊作正方形EFGH,使它與△ABC在線段AB的同側(cè).設(shè)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t/秒(t>0),正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S.
(1)當(dāng)t=1時(shí),正方形EFGH的邊長(zhǎng)是 . 當(dāng)t=3時(shí),正方形EFGH的邊長(zhǎng)是
(2)當(dāng)0<t≤2時(shí),求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)直接答出:在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)t為何值時(shí),S最大?最大面積是多少?

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【題目】在一個(gè)不透明的袋子中裝有僅顏色不同的10個(gè)小球,其中紅球4個(gè),黑球6個(gè).
(1)先從袋子中取出m(m>1)個(gè)紅球,再?gòu)拇又须S機(jī)摸出1個(gè)球,將“摸出黑球”記為事件A,請(qǐng)完成下列表格:

事件A

必然事件

隨機(jī)事件

m的值


(2)先從袋子中取出m個(gè)紅球,再放入m個(gè)一樣的黑球并搖勻,隨機(jī)摸出1個(gè)黑球的概率等于,求m的值.

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(2)若AP=6,求AE+AF的值。
(3)若△EFP的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運(yùn)動(dòng),請(qǐng)直接寫出AP長(zhǎng)的最大值和最小值

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(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)在拋物線上是否還存在點(diǎn)P(點(diǎn)B除外),使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形?若存在,求所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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