Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（﹣1，0），如圖所示：拋物線y=ax2+ax﹣2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，

∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，

∴∠BCD=∠CAO，

又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，

∴△BCD≌△CAO，

∴BD=OC=1，CD=OA=2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，1）

（2）

解：拋物線y=ax2+ax﹣2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（﹣3，1），

則得到1=9a﹣3a﹣2，

解得a= ，

所以拋物線的解析式為y= x2+ x﹣2

（3）

解：假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：

①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；

則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，

過(guò)點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，

∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，

∴△MP1C≌△DBC．

∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得點(diǎn)P1（1，﹣1）；

②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；

則過(guò)點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，

過(guò)點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，

∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得點(diǎn)P2（2，1），

③以A為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△ACP的頂點(diǎn)P有兩種情況．即過(guò)點(diǎn)A作直線L⊥AC，在直線L上截取AP=AC時(shí)，點(diǎn)P可能在y軸右側(cè)，即現(xiàn)在解答情況②的點(diǎn)P2；

點(diǎn)P也可能在y軸左側(cè)，即還有第③種情況的點(diǎn)P3．因此，然后過(guò)P3作P3G⊥y軸于G，同理：△AGP3≌△CAO，

∴GP3=OA=2，AG=OC=1，

∴P3為（﹣2，3）；

經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P1（1，﹣1）與點(diǎn)P2（2，1）都在拋物線y= x2+ x﹣2上，點(diǎn)P3（﹣2，3）不在拋物線上．

【解析】（1）根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D；根據(jù)角的互余的關(guān)系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線過(guò)B點(diǎn)的坐標(biāo)，可得a的值，進(jìn)而可得其解析式；（3）首先假設(shè)存在，分A、C是直角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．