【題目】如圖,四邊形ABCD是菱形,AB=4,且∠ABC=∠ABE=60°,M為對角線BD(不含B點)上任意一點,將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM、CM,AM+BM+CM的最小值為_____

【答案】

【解析】

根據(jù)“兩點之間線段最短”,當M點位于BDCE的交點處時,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長.

如圖,連接MN,∵△ABE是等邊三角形,

∴BA=BE,∠ABE=60°.

∵∠MBN=60°,

∴∠MBN﹣∠ABN=∠ABE﹣∠ABN.

即∠MBA=∠NBE.

又∵MB=NB,

∴△AMB≌△ENB(SAS),

∴AM=EN,

∵∠MBN=60°,MB=NB,

∴△BMN是等邊三角形.

∴BM=MN.

∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根據(jù)“兩點之間線段最短”,得EN+MN+CM=EC最短

∴當M點位于BD與CE的交點處時,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長,

過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F,

∴∠EBF=180°﹣120°=60°,

∵BC=4,

∴BF=2,EF=2,在Rt△EFC中,

∵EF2+FC2=EC2,

EC=4

故答案為:4.

練習冊系列答案
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