【題目】已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與坐標軸分別交于點A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),點P是線段AB上方拋物線上的一個動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當點P運動到什么位置時,△PAB的面積有最大值?
(3)過點P作x軸的垂線,交線段AB于點D,再過點P做PE∥x軸交拋物線于點E,連結DE,請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6;(2)當t=3時,△PAB的面積有最大值;(3)點P(4,6).
【解析】(1)利用待定系數(shù)法進行求解即可得;
(2)作PM⊥OB與點M,交AB于點N,作AG⊥PM,先求出直線AB解析式為y=﹣x+6,設P(t,﹣t2+2t+6),則N(t,﹣t+6),由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PNAG+PNBM=PNOB列出關于t的函數(shù)表達式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得;
(3)由PH⊥OB知DH∥AO,據(jù)此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°,結合∠DPE=90°知若△PDE為等腰直角三角形,則∠EDP=45°,從而得出點E與點A重合,求出y=6時x的值即可得出答案.
(1)∵拋物線過點B(6,0)、C(﹣2,0),
∴設拋物線解析式為y=a(x﹣6)(x+2),
將點A(0,6)代入,得:﹣12a=6,
解得:a=﹣,
所以拋物線解析式為y=﹣(x﹣6)(x+2)=﹣x2+2x+6;
(2)如圖1,過點P作PM⊥OB與點M,交AB于點N,作AG⊥PM于點G,
設直線AB解析式為y=kx+b,
將點A(0,6)、B(6,0)代入,得:
,
解得:,
則直線AB解析式為y=﹣x+6,
設P(t,﹣t2+2t+6)其中0<t<6,
則N(t,﹣t+6),
∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣(﹣t+6)=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t,
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=PNAG+PNBM
=
=PNOB
=×(﹣t2+3t)×6
=﹣t2+9t
=﹣(t﹣3)2+,
∴當t=3時,△PAB的面積有最大值;
(3)如圖2,
∵PH⊥OB于H,
∴∠DHB=∠AOB=90°,
∴DH∥AO,
∵OA=OB=6,
∴∠BDH=∠BAO=45°,
∵PE∥x軸、PD⊥x軸,
∴∠DPE=90°,
若△PDE為等腰直角三角形,
則∠EDP=45°,
∴∠EDP與∠BDH互為對頂角,即點E與點A重合,
則當y=6時,﹣x2+2x+6=6,
解得:x=0(舍)或x=4,
即點P(4,6).
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【題目】在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分斜邊AB,分別交AB、BC于D、E.若∠CAB=∠B+30°,CE=2cm.
求:(1)∠AEB 度數(shù).
(2)BC的長.
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【題目】某校為了解學生對籃球、足球、排球、羽毛球、乒乓球這五種球類運動的喜愛情況,隨機抽取一部分學生進行問卷調(diào)查,統(tǒng)計整理并繪制了以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖:
請根據(jù)以上統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)共抽取 名學生進行問卷調(diào)查;
(2)補全條形統(tǒng)計圖,求出扇形統(tǒng)計圖中“足球”所對應的圓心角的度數(shù);
(3)該校共有3000名學生,請估計全校學生喜歡足球運動的人數(shù).
(4)甲乙兩名學生各選一項球類運動,請求出甲乙兩人選同一項球類運動的概率.
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【題目】一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時,它沿江以最大航速順流航行100千米所用時間,與以最大航速逆流航行60千米所用時間相等,江水的流速為多少?
(1)設江水的流速為千米/時,填空:輪船順流航行速度為_________千米/時,逆流航行速度為_________千米/時,順流航行100千米所用時間為_________小時,逆流航行60千米所用時間為_________小時.
(2)列出方程,并求出問題的解.
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【題目】維修一項工程,甲、乙兩隊合做,天能完成,共付工錢元,甲隊每天的工錢比乙隊多元.若兩隊獨做,乙隊工期是甲隊的倍.
(1)甲、乙兩隊獨做各需多少天完成?
(2)若兩隊獨做,哪隊工錢總額較少?
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【題目】如圖,已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓,點D在圓上,在CD的延長線上有一點F,使DF=DA,AE∥BC交CF于E.
(1)求證:EA是⊙O的切線;
(2)求證:BD=CF.
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【題目】如圖1,以直角三角形的各邊邊邊分別向外作正三角形,再把較小的兩張正三角形紙片按圖2的方式放置在最大正三角形內(nèi).若知道圖中陰影部分的面積,則一定能求出( )
A.直角三角形的面積B.較小兩個正三角形重疊部分的面積
C.最大正三角形的面積D.最大正三角形與直角三角形的面積差
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【題目】為發(fā)展我市旅游經(jīng)濟,丹東天橋溝景區(qū)對門票采用動態(tài)的售票方法吸引游客,規(guī)定:門票定價為100元/人,非節(jié)假日打折售票,節(jié)假日按團隊人數(shù)分段定價售票,即10人以下(含10人)的團隊按原價售票;超過10人的團隊,其中10人仍按原價售票,超過10人部分的游客打折售票。設某旅游團人數(shù)為人,非節(jié)假日購票款為(元),節(jié)假日購票款為(元),、與之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)觀察圖象可知:_______,__________;
(2)直接寫出和的函數(shù)關系式(不需要寫出自變量的取值范圍);
(3)導游小王10月1日帶團,10月20日(非節(jié)假日)帶團都到天橋溝景區(qū)旅游,共付門票款4600元,、兩個團隊合計60人,求、兩個團隊各有多少人?
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,△ABC的位置如圖所示.
(1)分別寫出以下頂點的坐標:A( , );B( , ) ;C( , ).
(2)頂點A關于x軸對稱的點A′的坐標( , ),頂點C關于y軸對稱的點C′的坐標( , ).
(3)求△ABC的面積.
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