題目列表(包括答案和解析)

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第二輪復習側重的應是解題能力的培養(yǎng),尤其是讀題能力、類比能力和轉化能力;對于立體幾何的能力培養(yǎng),我認為應從以下幾方面著手:

1、重視已知條件與圖形的對號入座

解立幾題一般需作好兩個圖,一是立體圖,把已知條件中的線段長、角度值在圖中標出,對于圖形翻折、旋轉等問題把折前及折后的長度、角度對應起來,往往發(fā)現(xiàn)解題思路或部分結論。二是用來計算的鉛垂放置的平面圖(解題關鍵圖),利于正確運算。

[例6](2003汕頭一模)已知是矩形,平面

,分別是

的中點;(1)求證:二面角是直二面角;

(2)求點到平面的距離。

簡析:依次標出已知條件得到,所以,,從而(1)得到證明,(2)也可利用到平面的距離為到平面的距離的一半得以很快解決。

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3、利用平面的法向量求解角和距離問題

當作平面的垂線難度較大時,可利用平面的法向量求解一些角和距離問題。如圖,平的法向量為為平面的斜線,為斜足,則

與平面所成的角;用向量在法向量

上的投影公式易得:點到平面的距離

;當與異面直線,都垂直時,為異面直線,的距離公式。設二面角,分別為平面的法向量,則二面角的大小為或它的補角。

[例5](教材習題)棱長為1的正方體中,

求面對角線的距離。

解:建立如圖直角坐標系,則

,設,由,

,則,又

,所以。

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2、利用空間向量解探索性問題

對于立幾中的探索性問題及存在性問題,用“形”解難度很大,而“數(shù)”中的待定系數(shù)法正好運用。

[例3](2000全國節(jié)選)如圖,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°。的值

為多大時,能夠使A1C⊥平面C1BD ? 請給出證明。

 解:設,

,則,

,解得,所以=1時A1C⊥平面C1BD。

[例4](94全國節(jié)選)如圖,已知是正三棱柱,的中點,,求二面角的度數(shù)。

簡析:此題學生很易作出二面角的平面角,

但用傳統(tǒng)方法難以求出的長度關系;

若用向量解:在如圖坐標系下,設

,,

,得,,,很快得出結論。

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利用空間向量解立幾題,體現(xiàn)了空間的數(shù)形結合思想,順應了幾何改革代數(shù)化的方向;利用空間向量解立幾題,首先應是確定基向量。即或單位正交基底。

1、利用空間向量解線線平行、垂直問題

[例1](2003全國節(jié)選)正方體中,分別為的中點,證明:與平面不垂直。

分析:用傳統(tǒng)方法證明不垂直,有難度;

利用向量:,

,所以不垂直。

[例2](2003全國)如圖,直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,

,側棱分別是CC1與A1B的

中點,點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。

(1)求A1B與平面ABD所成角的大小(結果用反三

角函數(shù)值表示);

(2)求點A1到平面AED的距離.

  簡析:傳統(tǒng)解法解此題難點一是重心G的運用,而用向

量解:由很快得,

二是如何由條件求出的長,應用向量則由垂直易得。

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新教材立體幾何內容變化較大,主要是刪去了棱臺、旋轉體、球冠、多面體及旋轉體體積等;增加了正多面體的概念,多面體的歐拉公式,最大變化是首次引入空間向量,并用這一工具去解決空間直線的平行、垂直關系,以及求空間的“距離”、“角”。從近幾年的高考題來看,新教材的甲組題(即9B考題)比乙組題(即9A考題)和全國題都容易做。還有用向量方法去解部分傳統(tǒng)的立體幾何題也是有優(yōu)勢的,如2000、2003年全國高考立體幾何題,普遍都認為較難,但如果用向量方法去解,就很簡單了。因此,要重點掌握“空間向量”,并突出其“工具性”。

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22.(本小題滿分14分)

已知A、B是橢圓的一條弦,向量與AB交于M,且,以M為焦點,以橢圓的右準線為相應準線的雙曲線與直線AB交于N(4,-1).

  (1)求橢圓的離心率

 (2)設雙曲線的離心率為的解析式,并求它的定義域和值域.

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21、(本小題滿分12分)

  設函數(shù)與數(shù)列滿足關系:

,其中是方程的實數(shù)根;

;

的導數(shù)。

(Ⅰ) 證明:;

(Ⅱ) 判斷的大小,并證明你的結論。

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20、(本小題滿分12分)

   某種項目的射擊比賽,開始時在距目標100m處射擊,如果命中記3分,且停止射擊;若第一次射擊未命,可以進行第二次射擊,但目標已在150m處,這時命中記2分,且停止射擊;若第二次仍未命中,還可以進行第三次射擊,此時目標已在200m處,若第三次命中則記1分,并停止射擊;若三次都未命中,則記0分。已知射手甲在100m處擊中目標的概率為,他的命中率與目標的距離的平方成反比,且各次射擊都是獨立的.

(Ⅰ) 求這名射手在三次射擊中命中目標的概率;

(Ⅱ) 求這位射手在這次射擊比賽中得分的數(shù)學期望.

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19、(本小題滿分12分)

  如圖所示,已知正三棱柱的底面邊長為1,若點M在側棱上,且AM與側面所成的角為;

(Ⅰ)若BM=,求所成的角;    

(Ⅱ)判斷棱柱的高等于多少時能使得? 請給出證明.              

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18、(本小題滿分12分)

已知條件和條件,請選取適當?shù)膶崝?shù)的值,分別利用所給的兩個條件作為A、B構造命題:“若A則B”,并使得構造的原命題為真命題,而其逆命題為假命題。則這樣的一個原命題可以是什么?并說明為什么這一命題是符合要求的命題。

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