Question

【題目】已知向量a=cosωx+1,2sinωx,b=cosωx-,cosωx), ω>0.

(Ⅰ)當ωx≠kπ+,k∈Z時,若向量c=(1,0),d=(,0),且(a-c)∥(b+d),求4sin2ωx-cos2ωx的值;

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)=a·b的圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離為,當x∈[],g時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

Answer 1

【答案】(1)-.(2)[-, -]和[-.

【解析】試題分析：(1)根據(jù)題意得到cos2ωx-2sinωxcosωx=0，tanωx=，將式子進行齊次化得到結果即可；（2）由題意得,f(x)=a·b=2sin(2ωx+)，令2kπ≤4x+≤2kπ+，進而解得單調(diào)區(qū)間.

解析：

(I)因為a-c=(cosωx,2sinωx),b+d=(cosωx,cosωx)

所以由(a-c)∥(b+d),得cos2ωx-2sinωxcosωx=0,

因為ωx≠kπ+,k∈Z,所以 cosωx≠0,則 tanωx=,

所以4sin2ωx===-.

(Ⅱ)由題意得,f(x)=a·b=(cosωx+1)( cosωx-)+2 sinωx cosωx

=(2cos2ωx-1)+sin 2ωx

= cos 2ωx +sin 2ωx

=2sin(2ωx+)

因為相鄰兩對稱軸之間的距離為,所以·=→ω=2,

故f(x)=2sin(4x+)

令2kπ≤4x+≤2kπ+,解得是≤x≤kπ+,k∈Z

又因為x∈[-,],

所以,取k=-1,0,可得∫(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-, -]和[-.