【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD∥BC,CD=13,AB=12,BC=10,AD=5,PD=8,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是PB,DC的中點(diǎn).

(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求EF與平面PDB所成角的正弦值.

【答案】
(1)證明:取CB的中點(diǎn)G,連結(jié)DG,因?yàn)锳D∥BG且AD=BD,

所以四邊形ABGD為平行四邊形,

所以DG=AB=12,

又因?yàn)锳B⊥AD,

所以DG⊥AD,

又PD⊥平面ABCD,

故以點(diǎn)D原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.…

因?yàn)锽C=10,AD=5,PD=8,

所以有D(0,0,0),P(0,0,8),B(12,5,0),C(12,﹣5,0),

因?yàn)镋,F(xiàn)分別是PB,DC的中點(diǎn),

所以E(6,﹣2.5,0),F(xiàn)(6,2.5,4),

因?yàn)镻D⊥平面ABCD,DG平面ABCD,

所以PD⊥DG,

又因?yàn)镈G⊥AD,AD∩PD=D,AD,PD平面PAD,

所以DG⊥平面PAD,

所以 =(12,0,0)為平面PAD的一個(gè)法向量,

=(0,5,4), =0,

所以

又EF平面PAD,所以EF∥平面PAD;


(2)設(shè)平面PAD的法向量為 =(x,y,z),

所以 ,即 ,即

令x=5,則 =(5,﹣12,0)…

所以EF與平面PDB所成角θ滿足:

sinθ= = = ,

所以EF與平面PDB所成角的正弦值為


【解析】(1)先建立空間直角坐標(biāo)系,再找出平面PAD的一個(gè)法向量,進(jìn)而利用兩個(gè)向量垂直可證EF∥平面PAD;(2)先找出平面PAD的法向量,再利用線面夾角公式可得EF與平面PDB所成角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則即可以解答此題.

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A.31
B.33
C.63
D.65

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表示數(shù)列的前2018項(xiàng)的和,則( )

A. B.

C. D.

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(1)求取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率;
(2)求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(3)若孩子取出的卡片的計(jì)分超過30分,就得到獎(jiǎng)勵(lì),求孩子得到獎(jiǎng)勵(lì)的概率.

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A.相交
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C.垂直
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