【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性;

(2)當時,若方程有兩個相異實根,且,證明: .

【答案】(1)答案見解析;(2)證明見解析.

【解析】試題分析:(1)對原函數(shù)求導,根據(jù)導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)由條件知的兩個相異實根分別為,構(gòu)造函數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性,得函數(shù)遞減,由題意可知,,所以,這樣就將化到了同一個單調(diào)區(qū)間上去,直接研究函數(shù)0的關(guān)系即可,最終根據(jù)的單調(diào)性可以得到結(jié)果。

解析:(1因為,

函數(shù)的定義域為,

因為,當,即時, 恒成立

所以上是增函數(shù),

,即時,由,

上遞增

上遞減;

(2)設(shè)的兩個相異實根分別為,滿足

,

的導函數(shù),

所以上遞減,由題意可知,

,所以,令,

,

,

時, ,所以是減函數(shù),

所以

所以當時, ,

因為 上單調(diào)遞增,

所以,故,

綜上所述, .

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