【題目】如圖,已知ACDE是直角梯形,且ED∥AC,平面ACDE⊥平面ABC,∠BAC=∠ACD=90°,AB=AC=AE=2, ,P是BC的中點. (Ⅰ)求證:DP∥平面EAB;
(Ⅱ)求平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值.
【答案】(I)證明:取AB的中點F,連接PF,EF. 又∵P是BC的中點,∴ .
∵ ,ED∥AC,
∴ ,
∴四邊形EFPD是平行四邊形,
∴PD∥EF.
而EF平面EAB,PD平面EAB,
∴PD∥平面EAB.
(II)∵∠BAC=90°,平面ACDE⊥平面ABC,∴BA⊥平面ACDE.
以點A為坐標原點,直線AB為x軸,AC為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則z軸在平面EACD內(nèi).則A(0,0,),B(2,0,0), , .
∴ , .
設平面EBD的法向量 ,由 ,得 ,
取z=2,則 ,y=0.∴ .
可取 作為平面ABC的一個法向量,
∴ = = = .
即平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值為 .
【解析】(I)取AB的中點F,連接PF,EF.利用三角形的中位線定理可得 .再利用已知條件和平行四邊形的判定定理可得四邊形EFPD是平行四邊形,可得PD∥EF.利用線面平行的判定定理即可得出;(II)通過建立空間直角坐標系,利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面平行的判定的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐A﹣BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.
(1)求證:CD⊥平面ABD;
(2)若AB=BD=CD=1,M為AD中點,求三棱錐A﹣MBC的體積.
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【題目】已知橢圓C: +y2=1. (Ⅰ)求橢圓C的長軸和短軸的長,離心率e,左焦點F1;
(Ⅱ)經(jīng)過橢圓C的左焦點F1作直線l,直線l與橢圓C相交于A,B兩點,若|AB|= ,求直線l的方程.
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【題目】已知命題p:方程 + =1表示焦點在y軸上的橢圓,命題q:雙曲線 ﹣ =1的離心率e∈( , ),若命題p、q中有且只有一個為真命題,則實數(shù)m的取值范圍是
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【題目】有下列4個命題: ①“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆否命題;
②“若a>b,則a2>b2”的逆命題;
③“若x≤﹣3,則x2﹣x﹣6>0”的否命題;
④“若ab是無理數(shù),則a,b是無理數(shù)”的逆命題.
其中真命題的個數(shù)是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【題目】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(﹣∞,0]上是增函數(shù),設 ,c=f(0.20.6),則a,b,c的大小關系是( )
A.c<b<a
B.b<c<a
C.b<a<c
D.a<b<c
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【題目】已知橢圓具有性質(zhì):若M,N是橢圓C: =1(a>b>0且a,b為常數(shù))上關于y軸對稱的兩點,P是橢圓上的左頂點,且直線PM,PN的斜率都存在(記為kPM , kPN),則kPMkPN= .類比上述性質(zhì),可以得到雙曲線的一個性質(zhì),并根據(jù)這個性質(zhì)得:若M,N是雙曲線C: =1(a>0,b>0)上關于y軸對稱的兩點,P是雙曲線C的左頂點,直線PM,PN的斜率都存在(記為kPM , kPN),雙曲線的離心率e= ,則kPMkPN等于 .
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