Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，，為橢圓上兩點(diǎn)，圓.

（1）若軸，且滿足直線與圓相切，求圓的方程；

（2）若圓的半徑為2，點(diǎn)，滿足，求直線被圓截得弦長(zhǎng)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意先計(jì)算出點(diǎn)坐標(biāo)，然后得到直線的方程，根據(jù)直線與圓相切，得到半徑的大小，從而得到所求圓的方程；（2）先計(jì)算斜率不存在時(shí)，被圓截得弦長(zhǎng)，斜率存在時(shí)設(shè)為，與橢圓聯(lián)立，得到和，代入到得到的關(guān)系，表示出直線被圓截得的弦長(zhǎng)，代入的關(guān)系，從而得到弦長(zhǎng)的最大值.

解：（1）因?yàn)闄E圓的方程為，

所以，，

因?yàn)?/span>軸，所以，

根據(jù)對(duì)稱性，可取，

則直線的方程為，即.

因?yàn)橹本�與圓相切，得，

所以圓的方程為 .

（2）圓的半徑為2，可得圓的方程為.

①當(dāng)軸時(shí)，，所以，

得，

此時(shí)得直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.

②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，

，，

首先由，得，

即，所以（*）.

聯(lián)立，消去得，

在時(shí)，，

代入（*）式，得，

由于圓心到直線的距離為，

所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，

故當(dāng)時(shí)，有最大值為.

綜上，因?yàn)?/span>，

所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最大值為.