【題目】設(shè) 為等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和,其中 ,且 .
(1)求常數(shù) 的值,并寫出 的通項(xiàng)公式;
(2)記 ,數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,若對(duì)任意的 ,都有 ,求常數(shù) 的最小值.
【答案】(1).(2)4.
【解析】分析:(1)由題意可求得,,根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列可得,進(jìn)而得到公差,于是.(2)由(1)得,根據(jù)錯(cuò)位相減法求和可得,結(jié)合題意可得恒成立.令,可判斷數(shù)列{}單調(diào)遞減,由單調(diào)性可得當(dāng),都有成立.
詳解:(1)由及,得,.
∵數(shù)列是等差數(shù)列,
∴,
解得.
∴,
∴公差,
.
另解:設(shè)公差為,由得,
即
所以解得
所以.
(2)由(1)知,
∴.
∴,①
∴,②
①②得
.
∴
由,得.
設(shè),則
∵,
∴.即數(shù)列{}單調(diào)遞減.
又,,
∴當(dāng)時(shí),恒有.
故存在時(shí),使得對(duì)任意的,都有成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(0, ),以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為 .直線l的參數(shù)方程為 為參數(shù)).
(Ⅰ)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,求 + 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)準(zhǔn)備投資 萬(wàn)元興辦一所中學(xué),對(duì)當(dāng)?shù)亟逃袌?chǎng)進(jìn)行調(diào)查后,得到了如下的數(shù)據(jù)表格(以班級(jí)為單位):
初中 | 26 | 4 |
高中 | 54 | 6 |
第一年因生源和環(huán)境等因素,全校總班級(jí)至少 個(gè),至多 個(gè),若每開設(shè)一個(gè)初、高中班,可分別獲得年利潤(rùn) 萬(wàn)元、 萬(wàn)元,則第一年利潤(rùn)最大為
A. 萬(wàn)元 B. 萬(wàn)元 C. 萬(wàn)元 D. 萬(wàn)元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制,會(huì)產(chǎn)生一些次品,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,其次品率P與日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)之間大體滿足關(guān)系: (其中c為小于6的正常數(shù)). (注:次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量,如P=0.1表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品,有1件為次品,其余為合格品),已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的元件可以盈利2萬(wàn)元,但每生產(chǎn)出1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元,故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量.
(1)試將生產(chǎn)這種儀器的元件每天的盈利額T(萬(wàn)元)表示為日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù);
(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí),可獲得最大利潤(rùn)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到:先將圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變),再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式,并求其圖像的對(duì)稱軸方程;
(Ⅱ)已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解.
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng),根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組: ,并整理得到如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率;
(Ⅱ)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);
(Ⅲ)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為定義在上的函數(shù),其圖象關(guān)于軸對(duì)稱,當(dāng)時(shí),有,且當(dāng)時(shí),,若函數(shù)恰有個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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