Question

【題目】已知各項均為正數的兩個數列，滿足，．且．

（1）求證數列為等差數列；

（2）求數列的通項公式；

（3）設數列，的前n項和分別為，，求使得等式成立的有序數對．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）根據遞推關系可得，從而得到數列是等差數列；

（2）分別求出數列的奇數項和偶數項的通項公式，進而整合數列的通項公式；

（3）求出，，代入中，則存在，使得，，從而，再證明不成立，從而得到，，．

（1）由得，

即．

因為數列各項均為正數，所以，即，

故數列是公差為1的等差數列．

（2）由（1）及知．

由，得．

所以，上面兩式相除得，

所以數列的奇數項和偶數項都是公比為4的等比數列．

由及知，所以，，

所以．

綜上，數列的通項公式為．

（3）由（1）和（2）知，．

由，得，即．

則必存在，使得，，從而．

若，則，故．

又因為，所以．

這與矛盾，所以．由于，則只能，

此時，．