【題目】已知橢圓 的離心率為,過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦長為1

1)求橢圓C的方程;

2)設點M為橢圓上第一象限內一動點,A,B分別為橢圓的左頂點和下頂點,直線MBx軸交于點C,直線MAy軸交于點D,求證:四邊形ABCD的面積為定值.

【答案】(Ⅰ);(2)見解析.

【解析】

(1)根據(jù)題目所給的條件得到解出參數(shù)值即可;(2)分別設出直線AMBM求出點B,D的坐標,并表示出AC,BD的長度,代入面積公式化簡即可.

(Ⅰ)由已知可得:解得:;

所以橢圓C的方程為:

(Ⅱ)因為橢圓C的方程為:,所以,

,則,即

則直線BM的方程為:,令,得

同理:直線AM的方程為:,令,得

所以

即四邊形ABCD的面積為定值2.

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