Question

【題目】已知函數(shù)，為的導數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若在上恒成立，求整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】(1)函數(shù)單調(diào)性見詳解；(2).

【解析】

（1）求導，對參數(shù)進行分類討論，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的問題，利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和最值即可.

（1）因為，

故可得，

故可得，令，

故可得.

當，即時，恒成立，

故，則單調(diào)遞減；

當，即時，有兩根，

,

當時，，

故可得在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上恒成立，

故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當時，，

故可得在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上恒成立，

故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

當時，，

故可得在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上恒成立，

故在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

綜上所述：

當時，在單調(diào)遞減；

當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當時，在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（2）因為在上恒成立，

等價于，令，

則要滿足題意，只需

故可得，令，

故可得，故在區(qū)間單調(diào)遞增.

又，

故存在，使得，即

故在區(qū)間恒成立，在區(qū)間恒成立，

即在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

故，

因為，故可得，

又因為，故整數(shù)的最大值為.