Question

【題目】已知函數(shù)，下列命題：

①為偶函數(shù)；②的最大值為2；

③在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為18；

④的任何一個(gè)極大值都大于1．

其中所有正確命題的序號(hào)是_____．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由于函數(shù)，根據(jù)奇偶性的定義和圖象與性質(zhì)，分析函數(shù)的奇偶性、最值、對(duì)稱性和極值，從而可判斷命題的真假．

解：對(duì)于①，函數(shù)，定義域?yàn)?/span>，且滿足，

所以函數(shù)為偶函數(shù)，故①正確；

對(duì)于②，因?yàn)?/span>，，所以，

又因?yàn)?/span>，即當(dāng)時(shí)，取得最大值為2，故②正確；

對(duì)于③，的圖象如圖所示，可知在內(nèi)有10個(gè)零點(diǎn)，

由①可知為偶函數(shù)，其零點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為20，所以③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，由于是偶函數(shù)，則只需考慮的情況，

此時(shí)，則，

由和的圖象可知，

在每一個(gè)區(qū)間上，時(shí)，有2個(gè)解，

且當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，

而，所以得極大值為，

所以的任何一個(gè)極大值都大于1，故④正確.

綜上知，正確的命題序號(hào)是①②④．

故答案為：①②④．