Question

【題目】已知函數(shù)，．

若是函數(shù)的極值點，求曲線在點處的切線方程；

若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

設(shè)m，n為正實數(shù)，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)的極值點，解得，求出切線的斜率為，切點為，然后利用點斜式求解切線方程；由知，利用函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，得到在區(qū)間上恒成立，推出，設(shè)，，，利用基本不等式，再求出函數(shù)的最大值，可得實數(shù)的取值范圍；利用分析法證明，要證，只需證，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得,從而可得結(jié)論．

，．

是函數(shù)的極值點，，解得，

經(jīng)檢驗，當(dāng)時，是函數(shù)的極小值點，符合題意

此時切線的斜率為，切點為，

則所求切線的方程為

由知

因為函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，

所以不等式在區(qū)間上恒成立

即在區(qū)間上恒成立，

當(dāng)時，由可得，

設(shè)，，，

當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，，

又因為函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減，在區(qū)間上為單調(diào)遞增，

且，，

所以當(dāng)時，恒成立，

即，也即

則所求實數(shù)a的取值范圍是

，n為正實數(shù)，且，要證，只需證

即證只需證

設(shè)，，

則在上恒成立，

即函數(shù)在上是單調(diào)遞增，

又，，即成立，

也即成立.