Question

【題目】已知動點到直線的距離是它到點的距離的倍.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設(shè)軌跡上一動點滿足： ，其中是軌跡上的點，且直線與的斜率之積為，若為一動點， ， 為兩定點，求的值.

Answer 1

【答案】(I) ; (II)

【解析】試題分析：（1）根據(jù)所給條件列出關(guān)于點坐標的等式，對等式化簡可得的軌跡方程為橢圓；（2）設(shè)， ， ，利用所給向量間的關(guān)系可用兩點的坐標表示點坐標．再由三點在橢圓上，可得，由斜率乘積為，可得，進一步得為橢圓上點， 為焦點，由橢圓定義可得結(jié)果．

試題解析：(I)點到直線的距離是到點的距離的倍，

則 ， 化簡得

(II)設(shè)， ， ，則由，

得，

∵點T、P、Q在橢圓上，

∴所以， ，

故

設(shè)分別為直線OP、OQ的斜率，由題意知，

，因此，

∴.

所以N點是橢圓上的點，

而恰為該橢圓的左、右焦點，由橢圓的定義，