【題目】已知橢圓過點,順次連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為,點.
(Ⅰ)求橢圓的方程.
(Ⅱ)已知點,是橢圓上的兩點.
(。┤,且為等邊三角形,求的面積;
(ⅱ)若,證明: 不可能為等邊三角形.
【答案】(I);(II)詳見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)面積公式得到,以及點在曲線上,代入得到,以及,求得;(Ⅱ)(。└鶕(jù)等邊三角形的性質(zhì),可得直線的傾斜角是或,這樣求得直線的方程,聯(lián)立橢圓方程,得到點的坐標,求得面積;(ⅱ)因為,所以斜率存在,設(shè)直線的方程是,與橢圓方程聯(lián)立,得到根與系數(shù)的關(guān)系,并且表示線段中點的坐標,若是等邊三角形,則,可求得,不合題意.
試題解析:(Ⅰ)依題意, , ,聯(lián)立兩式,解得, ,故橢圓的方程為.
(Ⅱ)(。┯且為等邊三角形及橢圓的對稱性可知,直線和直線與軸的夾角為,由可得.
即或,當時, 的面積為;
當時, 的面積為.
(ⅱ)因為,故直線斜率存在,設(shè)直線, 中點為,聯(lián)立消去得,
由得到,①
所以, ,
所以.
又,若為等邊三角形,則有,
即,即,化簡得,②
由②得點橫坐標為,不合題意.
故不可能為等邊三角形.
(用點差法求點坐標也可)
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列, 都是單調(diào)遞增數(shù)列,若將這兩個數(shù)列的項按由小到大的順序排成一列(相同的項視為一項),則得到一個新數(shù)列.
(1)設(shè)數(shù)列、分別為等差、等比數(shù)列,若, , ,求;
(2)設(shè)的首項為1,各項為正整數(shù), ,若新數(shù)列是等差數(shù)列,求數(shù)列 的前項和;
(3)設(shè)(是不小于2的正整數(shù)),,是否存在等差數(shù)列,使得對任意的,在與之間數(shù)列的項數(shù)總是?若存在,請給出一個滿足題意的等差數(shù)列;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知過拋物線()的焦點,斜率為的直線交拋物線于, ()兩點,且.
(1)求該拋物線的方程;
(2)為坐標原點, 為拋物線上一點,若,求的值.
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典.其中對勾股定理的論術(shù)比西方早一千多年,其中有這樣一個問題:“今有圓材埋在壁中,不知大小.以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺.問徑幾何?”其意為:今有一圓柱形木材,埋在墻壁中,不知其大小,用鋸去鋸該材料,鋸口深1寸,鋸道長1尺.問這塊圓柱形木料的直徑是多少?長為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中,截面圖如圖所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分).已知弦尺,弓形高寸,估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為( )
(注:1丈=10尺=100寸, , )
A. 633立方寸 B. 620立方寸 C. 610立方寸 D. 600立方寸
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【題目】如圖所示,M、N、K分別是正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中點.求證:
(1)AN∥平面A1MK;
(2)MK⊥平面A1B1C.
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【題目】服裝廠擬在2017年舉行促銷活動,經(jīng)調(diào)查測算,該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)萬件與年促銷費用()萬元滿足.已知年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為萬元,每生產(chǎn)萬件該產(chǎn)品需要投入萬元.廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金,不包括促銷費用).
(1)將2017年該產(chǎn)品的利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數(shù);
(2)該服裝廠2017年的促銷費用投入多少萬元時,利潤最大?
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【題目】已知動點到直線的距離是它到點的距離的倍.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設(shè)軌跡上一動點滿足: ,其中是軌跡上的點,且直線與的斜率之積為,若為一動點, , 為兩定點,求的值.
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【題目】如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐P﹣ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,點E是PD的中點.
(Ⅰ)求證:AC⊥PB;
(Ⅱ)求證:PB∥平面AEC.
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