【題目】設(shè)函數(shù).
(1)證明:,都有;
(2)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),求的極值.
【答案】(1)見解析;(2)時(shí),的極大值為e1,極小值為0.
【解析】
(1)令,求導(dǎo)得,利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性,
從而求出的最大值,最大值小于0,則命題得證;
(2)由得,兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)整理得,則的零點(diǎn)
個(gè)數(shù)等于解的個(gè)數(shù),令,求導(dǎo),求出,得出
,令,求導(dǎo),借助的單調(diào)性得
出的符號(hào),從而求出極值.
(1)證明:令,則,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以的最大值為,即,
所以,都有.
(2)解:由得,則,所以,
所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于方程解的個(gè)數(shù),
令,則,且,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又因?yàn)?/span>,
且由(1)知,,則當(dāng)時(shí),,
所以時(shí),有且只有一個(gè)解,
所以若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則,此時(shí),
∴,
令,則,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,
所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
∴當(dāng)時(shí),,則,則,
同理可得:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
所以和分別是函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).
所以時(shí),的極大值為e1,極小值為0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】請(qǐng)解答以下問題,要求解決兩個(gè)問題的方法不同.
(1)如圖1,要在一個(gè)半徑為1米的半圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形,如何截?并求出這個(gè)最大矩形的面積.
(2)如圖2,要在一個(gè)長(zhǎng)半軸為2米,短半軸為1米的半個(gè)橢圓鐵板中截取一塊面積最大的矩形,如何截?并求出這個(gè)最大矩形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:+y2=1,不與坐標(biāo)軸垂直的直線l與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn).
(1)若線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,),求直線l的方程;
(2)若直線l過點(diǎn)P(p,0),點(diǎn)Q(q,0)滿足kQM+kQN=0,求pq的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,每個(gè)側(cè)面均為正方形,D為底邊AB的中點(diǎn),E為側(cè)棱的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求證:平面;
(3)若,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,,二面角的大小為120°,點(diǎn)在棱上,且,點(diǎn)為的重心.
(1)證明:平面;
(2)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=6sinθ,建立以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸正半軸的平面直角坐標(biāo)系.直線l的參數(shù)方程是,(t為參數(shù)).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=,求直線的斜率k.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直三棱柱中,,,是的中點(diǎn),是上一點(diǎn),且.
(1)證明:平面;
(2)求二面角余弦值的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到定直線的距離小1.
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)任意作互相垂直的兩條直線,分別交曲線于點(diǎn)和.設(shè)線段, 的中點(diǎn)分別為,求證:直線恒過一個(gè)定點(diǎn);
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求面積的最小值.
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