【題目】請(qǐng)解答以下問題,要求解決兩個(gè)問題的方法不同.
(1)如圖1,要在一個(gè)半徑為1米的半圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形,如何截?并求出這個(gè)最大矩形的面積.
(2)如圖2,要在一個(gè)長(zhǎng)半軸為2米,短半軸為1米的半個(gè)橢圓鐵板中截取一塊面積最大的矩形,如何截。坎⑶蟪鲞@個(gè)最大矩形的面積.
【答案】(1),面積最大為1(2),,面積最大值為2
【解析】
(1)通過設(shè)出∠BOC=α,進(jìn)而用α表示出OB,BC;最后表示出S利用三角函數(shù)即可求解;
(2)通過設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)(m,n),進(jìn)而表示出OB=m,BC=n,S=2mn;再利用點(diǎn)C為橢圓上的點(diǎn),即滿足其方程利用基本不等式求解即可;
(1)設(shè)∠BOC=α,();
∴OB=cosα,BC=sinα;
∵S=2OBBC,
∴S═2sinαcosα=sin2α;
∴當(dāng)時(shí),即OA時(shí),矩形面積最大為1;
(2)依題意可得:橢圓方程為:;
設(shè):點(diǎn)C坐標(biāo)為(m,n)即:OB=m,BC=n;
∴S=2OBBC=2mn;
∵點(diǎn)C為橢圓上的點(diǎn);
∴;
∵;
∴mn≤1,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào);
∴S≤2;即矩形面積最大為2;當(dāng)OB,即時(shí)取等號(hào);
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x|+|x﹣λ|,其中λ.
(1)若對(duì)任意x∈R,恒有f(x),求λ的最大值;
(2)在(1)的條件下,設(shè)λ的最大值為t,若正數(shù)m,n滿足m+2n=mnt,求2m+n的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2016年某市政府出臺(tái)了“2020年創(chuàng)建全國文明城市(簡(jiǎn)稱創(chuàng)文)”的具體規(guī)劃,今日,作為“創(chuàng)文”項(xiàng)目之一的“市區(qū)公交站點(diǎn)的重新布局及建設(shè)”基本完成,市有關(guān)部門準(zhǔn)備對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果決定是否驗(yàn)收,調(diào)查人員分別在市區(qū)的各公交站點(diǎn)隨機(jī)抽取若干市民對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)分,并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,相關(guān)規(guī)則為:①調(diào)查對(duì)象為本市市民,被調(diào)查者各自獨(dú)立評(píng)分;②采用百分制評(píng)分, 內(nèi)認(rèn)定為滿意,80分及以上認(rèn)定為非常滿意;③市民對(duì)公交站點(diǎn)布局的滿意率不低于60%即可進(jìn)行驗(yàn)收;④用樣本的頻率代替概率.
(1)求被調(diào)查者滿意或非常滿意該項(xiàng)目的頻率;
(2)若從該市的全體市民中隨機(jī)抽取3人,試估計(jì)恰有2人非常滿意該項(xiàng)目的概率;
(3)已知在評(píng)分低于60分的被調(diào)查者中,老年人占,現(xiàn)從評(píng)分低于60分的被調(diào)查者中按年齡分層抽取9人以便了解不滿意的原因,并從中選取2人擔(dān)任群眾督察員,記為群眾督查員中老年人的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)代的偉大科學(xué)家,他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算的原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”,稱為祖暅原理.意思是底面處于同一平面上的兩個(gè)同高的幾何體,若在等高處的截面面積始終相等,則它們的體積相等.利用這個(gè)原理求半球O的體積時(shí),需要構(gòu)造一個(gè)幾何體,該幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為_____,表面積為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)a∈R時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)對(duì)任意的x∈(1,+∞)均有f(x)<ax,若a∈Z,求a的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方體,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),設(shè)直線為,直線為.對(duì)于下列兩個(gè)命題:①過點(diǎn)有且只有一條直線與、都相交;②過點(diǎn)有且只有一條直線與、都成角.以下判斷正確的是( )
A.①為真命題,②為真命題B.①為真命題,②為假命題
C.①為假命題,②為真命題D.①為假命題,②為假命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(3,0)的距離和它到定直線l:x=6的距離之比是常數(shù).
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡T的方程;
(2)若直線l:x+y-3=0與軌跡T交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的垂直平分線與T交于C,D兩點(diǎn),試問A,B,C,D是否在同一個(gè)圓上?若是,求出該圓的方程;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點(diǎn)是曲線:上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),曲線在點(diǎn)處的切線與軸、軸分別交于,兩點(diǎn),點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),①;②的面積為定值;③曲線上存在兩點(diǎn),使得是等邊三角形;④曲線上存在兩點(diǎn),使得是等腰直角三角形,其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
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