【題目】如圖,在三棱錐中,,二面角的大小為120°,點在棱上,且,點為的重心.
(1)證明:平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)連接,并延長與相交于點,連接,可證得,從而得證;
(2)過點在中作,與相交于點,可得,以點為坐標原點,所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,分別求平面的法向量和平面的一個法向量為,再求得,進而利用同角三角函數(shù)關系即可得解.
(1)證明:連接,并延長與相交于點,連接,
因為點為的重心,所以,
在中,有,
所以,
則平面,平面,
所以平面;
(2)解:過點在中作,與相交于點,因為,,則為二面角的平面角,則。
以點為坐標原點,所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
因為,,,則,,,,
所以
記平面的法向量,
則
令,得到平面的一個法向量,
設平面的一個法向量為,
則,
令,得到平面的一個法向量,
,
設二面角的平面角為,則,
即二面角的正弦值為.
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【題目】已知橢圓:的焦點分別為,,橢圓的離心率為,且經過點,經過,作平行直線,,交橢圓于兩點,和兩點,.
(1)求的方程;
(2)求四邊形面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù).
Ⅰ當時,取得極值,求的值并判斷是極大值點還是極小值點;
Ⅱ當函數(shù)有兩個極值點,,且時,總有成立,求的取值范圍.
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【題目】(2017高考新課標Ⅲ,理19)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
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【題目】命題p:x∈R,ax2﹣2ax+1>0,命題q:指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)為減函數(shù),則P是q的( 。
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
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【題目】某群體的人均通勤時間,是指單日內該群體中成員從居住地到工作地的平均用時.某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當中()的成員自駕時,自駕群體的人均通勤時間為(單位:分鐘),而公交群體的人均通勤時間不受影響,恒為分鐘,試根據上述分析結果回答下列問題:
(1)當在什么范圍內時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間?
(2)求該地上班族的人均通勤時間的表達式;討論的單調性,并說明其實際意義.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若x≥-2時,恒有f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)=.
(1)若不等式的解集為,求不等式的解集;
(2)若對于任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)已知,若方程在有解,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某工廠生產某種型號的電視機零配件,為了預測今年月份該型號電視機零配件的市場需求量,以合理安排生產,工廠對本年度月份至月份該型號電視機零配件的銷售量及銷售單價進行了調查,銷售單價(單位:元)和銷售量(單位:千件)之間的組數(shù)據如下表所示:
月份 | ||||||
銷售單價(元) | ||||||
銷售量(千件) |
(1)根據1至月份的數(shù)據,求關于的線性回歸方程(系數(shù)精確到);
(2)結合(1)中的線性回歸方程,假設該型號電視機零配件的生產成本為每件元,那么工廠如何制定月份的銷售單價,才能使該月利潤達到最大(計算結果精確到)?
參考公式:回歸直線方程,其中.
參考數(shù)據:.
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