【題目】設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=lnx﹣ax.
(1)若a=2,求曲線y=f(x)在P(1,﹣2)處的切線方程;
(2)若f(x)無(wú)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若f(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn)x1 , x2 , 求證:x1x2>e2

【答案】
(1)解:在區(qū)間(0,+∞)上,

當(dāng)a=2時(shí),f′(1)=1﹣2=﹣1,則切線方程為y﹣(﹣2)=﹣(x﹣1),即x+y+1=0


(2)解:①若a<0,則f′(x)>0,f(x)是區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù),

∵f(1)=﹣a>0,f(ea)=a﹣aea=a(1﹣ea)<0,

∴f(1)f(ea)<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)有唯一零點(diǎn)

②若a=0,f(x)=lnx有唯一零點(diǎn)x=1.

③若a>0,令f′(x)=0得:

在區(qū)間(0, )上,f′(x)>0,函數(shù)f(x)是增函數(shù);

在區(qū)間( ,+∞)上,f′(x)<0,函數(shù)f(x)是減函數(shù);

故在區(qū)間(0,+∞)上,f(x)的極大值為f( )=

由于f(x)無(wú)零點(diǎn),須使 ,解得:

故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ,+∞)


(3)證明:設(shè)x1>x2>0,∵f(x1)=0,f(x2)=0,∴l(xiāng)nx1﹣ax1=0,lnx2﹣ax2=0,

∴l(xiāng)nx1﹣lnx2=a(x1﹣x2),lnx1+lnx2=a(x1+x2

原不等式x1x2>e2等價(jià)于lnx1+lnx2>2a(x1+x2)>2

,則t>1,于是

設(shè)函數(shù)

求導(dǎo)得: ,

故函數(shù)g(t)是(1,+∞)上的增函數(shù),∴g(t)>g(1)=0

即不等式 成立,故所證不等式x1x2>e2成立


【解析】(1)先確定函數(shù)f(x)的定義域,然后對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出f′(1)=﹣1,得到切線方程.(2)當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)有零點(diǎn);當(dāng)a>0時(shí),極大值小于0,函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn),由此可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)由于f(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn)x1 , x2 , 可知f(x1)=0,f(x2)=0,再原不等式x1x2>e2進(jìn)一步整理得到 ,只要能證出上述不等式恒成立即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

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電力線

安全距離單位:

水平距離

垂直距離

330KV

500KV

現(xiàn)有某棵行道樹(shù)已經(jīng)自然生長(zhǎng)2年,高度為據(jù)研究,這種行道樹(shù)自然生長(zhǎng)的時(shí)間與它的高度滿足關(guān)系式

1______;將結(jié)果直接填寫在答題卡的相應(yīng)位置上

2如果這棵行道樹(shù)的正上方有35kV的電力線,該電力線距地面那么這棵行道樹(shù)自然生長(zhǎng)多少年必須修剪?

3假如這棵行道樹(shù)的正上方有500KV的電力線,這棵行道樹(shù)一直自然生長(zhǎng),始終不會(huì)影響電力線段安全,那么該電力線距離地面至少多少米?

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