【題目】已知圓O:x2+y2=1和定點(diǎn)A(2,1),由圓O外一點(diǎn)P(a,b)向圓O引切線PQ,PM,切點(diǎn)為Q,M,且滿足|PQ|=|PA|.

(1)求實(shí)數(shù)a,b間滿足的等量關(guān)系;
(2)若以P為圓心的圓P與圓O有公共點(diǎn),試求圓P的半徑最小時(shí)圓P的方程;
(3)當(dāng)P點(diǎn)的位置發(fā)生變化時(shí),直線QM是否過定點(diǎn),如果是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),如果不是,說明理由.

【答案】
(1)解:連OP,∵Q為切點(diǎn),PQ⊥OQ,由勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2

∵|PQ|=|PA|故PA2=PO2﹣1

∴a2+b2﹣1=(a﹣2)2+(b﹣1)2

化簡(jiǎn)可得,2a+b﹣3=0


(2)解:設(shè)圓P的半徑為R,

∵圓P與圓O有公共點(diǎn),且半徑最小,

∴R=|OP|= = = ,

故當(dāng)a= 時(shí),|OP|min=

此時(shí),b= ,Rmin= ﹣1.

得半徑取最小值時(shí)圓P的方程為 ;


(3)解:設(shè)Q(x1,y1),M(x2,y2),則

化簡(jiǎn)得ax1+by1=1,

同理ax2+by2=1.

所以,直線MQ的方程為ax+by=1.

∵b=3﹣2a,代入上式得(x﹣2y)a+3y﹣1=0,

令x﹣2y=0,3y﹣1=0,得x= ,y= ,

∴直線MQ過定點(diǎn)( ).


【解析】(1)由已知Q為切點(diǎn),可知PQ⊥OQ,結(jié)合勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2及已知|PQ|=|PA|,利用兩點(diǎn)間的距離公式可得a,b之間的關(guān)系(2)設(shè)圓P的半徑為R,由圓P與圓O有公共點(diǎn),且半徑最小,可知R=OP,利用兩點(diǎn)間的距離,結(jié)合(1)中a,b的關(guān)系可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的二次形式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求R的最小值,進(jìn)而可求圓的方程;(3)求出直線MQ的方程,結(jié)合b=3﹣2a,即可得出結(jié)論.

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附:,

010

005

0025

0010

2706

3841

5024

6635

2若小王以這40位好友該日走路步數(shù)的頻率分布來估計(jì)其所有微信好友每日走路步數(shù)的概率分布,現(xiàn)從小王的所有微信好友中任選2人,其中每日走路不超過5000步的有人,超過10000步的有人,設(shè),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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