【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都成立,求實(shí)數(shù)的最大整數(shù)值.
(3)當(dāng)時(shí),若存在實(shí)數(shù)且,使得,求證.
【答案】(1)增區(qū)間,減區(qū)間;(2)2;(3)見解析
【解析】
(1)由,得,再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),得到單調(diào)遞減區(qū)間,得到單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)依題意得,所以,令,利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性,由,,即存在使,且,所以,從而得到的取值范圍;
(3)令,解得,由題意知,即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到,同理,從而得解;
解:(1)當(dāng)時(shí),,,令得,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,即的單調(diào)遞減區(qū)間為;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,即的單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)依題意得,
所以,
令,顯然在上單調(diào)遞增,
且,,∴存在使,
且當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
∴而,
∴,
∴,
∴,∴的最大整數(shù)值為2.
(3)令,解得,由題意知,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
∵在上單減,在上單增,且,
∴當(dāng)時(shí),,由,,可得,
∴,∴,同理,
則,解得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為:.
(1)求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2),直線和曲線交于、兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市舉辦酬賓活動(dòng),單次購(gòu)物超過元的顧客可參與一次抽獎(jiǎng)活動(dòng),活動(dòng)規(guī)則如下:盒子中裝有大小和形狀完全相同的個(gè)小球,其中個(gè)紅球、個(gè)白球和個(gè)黑球,從中不放回地隨機(jī)抽取個(gè)球,每個(gè)球被抽到的機(jī)會(huì)均等.每抽到個(gè)紅球記分,每抽到個(gè)白球記分,每抽到個(gè)黑球記分.如果抽取個(gè)球總得分分可獲得元現(xiàn)金,總得分低于分沒有現(xiàn)金,其余得分可獲得元現(xiàn)金.
(1)設(shè)抽取個(gè)球總得分為隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量的分布列;
(2)設(shè)每位顧客一次抽獎(jiǎng)獲得現(xiàn)金元,求的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】雙曲線的左、右焦點(diǎn)為,,為右支上的動(dòng)點(diǎn)(非頂點(diǎn)),為的內(nèi)心.當(dāng)變化時(shí),的軌跡為( )
A.直線的一部分B.橢圓的一部分
C.雙曲線的一部分D.無法確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面坐標(biāo)系中中,已知直線l的參考方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),
(Ⅰ)求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個(gè)關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開式,該公式于明朝初年傳入我國(guó).在我國(guó)科技水平業(yè)已落后的情況下,我國(guó)數(shù)學(xué)家天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國(guó)的數(shù)學(xué)研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時(shí)近30年,證明了包括這個(gè)公式在內(nèi)的三個(gè)公式,同時(shí)求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個(gè)新級(jí)數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國(guó)用級(jí)數(shù)計(jì)算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開式”計(jì)算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是( )
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】最新研究發(fā)現(xiàn),花太多時(shí)間玩手機(jī)游戲的兒童,患多動(dòng)癥的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)加倍.青少年的大腦會(huì)很快習(xí)慣閃爍的屏幕、變幻莫測(cè)的手機(jī)游戲,一旦如此,他們?cè)诮淌业纫曈X刺激較少的地方,就很難集中注意力.研究人員對(duì)110名年齡在7歲到8歲的兒童隨機(jī)調(diào)查,并在孩子父母的幫助下記錄了他們?cè)?/span>1個(gè)月里玩手機(jī)游戲的習(xí)慣.同時(shí),教師記下這些孩子出現(xiàn)的注意力不集中問題.統(tǒng)計(jì)得到下列數(shù)據(jù):
注意力不集中 | 注意力集中 | 總計(jì) | |
不玩手機(jī)游戲 | 20 | 40 | 60 |
玩手機(jī)游戲 | 30 | 20 | 50 |
總計(jì) | 50 | 60 | 110 |
(1)試估計(jì)7歲到8歲不玩手機(jī)游戲的兒童中注意力集中的概率;
(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為玩手機(jī)游戲與注意力集中有關(guān)系?
附表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.840 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | td style="width:27.75pt; border-top-style:solid; border-top-width:0.75pt; border-left-style:solid; border-left-width:0.75pt; padding:3.38pt 5.62pt; vertical-align:middle">
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽約3世紀(jì)初在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖,現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色,規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色,相鄰區(qū)域顏色不同,則區(qū)域涂色不相同的概率為
A. B. C. D.
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